第六章 勾股定理与平方根理论
市场几何学所讲究的是几何比率在金融市场图表分析中的应用。在几何学之中，勾股定理是最为普及的定理。
市场几何学所讲究的是几何比率在金融市场图表分析中的应用。在几何学之中，勾股定理( Pythagoras' theorem )是最为普及的定理。这个定理是，对于所有直角三角形，直角夹角的每边平方之和，等于斜线的平方，其公式是:
a2+b2=c2
一个著名的例子是:若直角三角形的直角夹角是3 及4 ，则引用上面公式，其斜边将为5 。图6.1 是由9 格正方形、16 格正方形及25 格正方形所组成，若以连续数字将每个正方形的内格分隔，可以得到神奇数字系列的5、8 及13。
将勾股定理应用在金融市场上，有两个直角三角形最为重要:
第一，直角三角形的直角夹角两边皆为1，则其斜边比率将为√￣， 即1.414 。
第二，直角三角形的直角夹角一边为1，另一边为2 ，则其斜线的长度应为√￣5，即2.236。
H= √￣12+22
=2.236
换一种方法， √￣2 的倒数为1/ √￣2， 即0.707; √￣5的倒数为1/√￣5，即0.447 。重要的市场比率为:
① 1.414 及2.236;
② 0.707 及0.447 。
在金融市场上，黄金比率发挥着极大的作用。事实上，我们可以从时间价位两条轴，利用勾股定理推演出黄金比率的关系。黄金矩形的几何分析方法是:假设四方形的边长为两个单位，其底线中央连接其右上角的对角线，其长度为√￣5，将这条对角线变成X轴，超出原先四方形的边长为1.236 个单位，而超出的长度将为四方形边长的0.618。
换言之，若四方形的横轴是金融图表中的时间，纵轴是图表中的价位，则对角线√￣5实际上便是江恩的上升1 x 2 线。若应用在图表分析上，假设市场根据1 x 2 线上升见顶的话，则市场调整的时间便甚有可能在升市时间的1.236 倍后结束。
从另一个角度去分析，假设正方形每边的边长为1 个单位，应用勾股定理，对角线将为√￣2， 将对角线平放，以√￣2 作为正方形增长的比率，我们可以得到一个矩形，其高度为1，而其宽度则为√￣2 。
换言之，若四方形的纵轴及横轴分别为金融图表的价位及时间，则对角线√￣2 实际上便是江恩的上升1 x 1 线。假设市场根据1 x 1 线上升见顶，则根据上面的理论，其调整时间应为升市时间的0.414 倍，即√￣2 减1 。
再以上面的矩形计算，其对角线的幅度将为√￣3，如此类推，所得出的横向增长比率为√￣3。换言之，其增长比率将以数字的平方根为增长的比率(图6.2 )。
从另一个角度去考虑，若这种增长方式以两度空间的形式增长，则横向的增长比率将为:√￣2、√￣5 、√￣13、√￣34的形式无限延伸。而向上增长的比率将为:√￣3、√￣8、√￣21、√￣55的形式增长(图6.3 )。换言之，平方根比率的增长模式乃是以神奇数字系列排列的单数及双数的形式延伸开来。
这两度空间可以视为金融图表上时间与价位的两大角度，若价位以√￣2 、√￣5 、√￣13、√￣34的比率延伸的话，则时间将以J3 、√￣8、√￣21、√￣55 的比率延伸开来。反之亦然。
综合而言，在金融市场的价位及时间分析方面，有两套重要的比率经常影响市场的发展。
第一套是黄金比率及所衍生的比率。
第一，黄金比率0.618 及其衍生的比率:
① √￣0.618≈0.786；
② 0.6181= 0.618；
③ 0.6182≈0.382；
④ 0.6183≈0.236;
⑤ 0.6184≈1.146
第二，黄金比率0.618 的倒数1.618 及其衍生的比率:
① √￣1.618≈1.272;
② 1.6181 = 1.618;
③ 1.6182≈2.618;
④ 1.6183≈4.236;
⑤ 1.6184≈6.854。
第二套比率以神奇数字本身的平方根为主。
这套比率中，最重要的是√￣2、√￣3、√￣5 ， 以及其衍生的比率:
( 1 ) √￣2的重要比率为:
① 1/√￣2≈0.707;
② √￣2≈1.414;
③ (√￣2 )2≈2 。
( 2 ) √￣3的重要比率为:
① 1/√￣3≈0.577;
② √￣3≈1.732;
③ （√￣3）2≈3 。
( 3 ) √￣5 的重要比率为:
① 1/ √￣5≈0.447;
② √￣5≈2.236;
③ (√￣5)2≈5 。
在应用上述比率分析市场走势及转折点时，有两点要注意:
( 1 ) 分析价位及时间的转折点必须至少从三个角度计算，要三种比率所计算出来的目标都到达十分接近的水平，计算的转折点才会发挥威力。
( 2 )时间及价位之间的比率必须互相配合，市场才会发挥应有的作用。
在应用市场比率上，相信读者会遇到这样的问题:黄金比率的衍生比率太多，若加上误差，在市场分析时总会有一个比较适用。到处都是比值，等于元，倒不如单用黄金比率为佳。
在这个问题上，笔者的意见主要有三个方面:第一是市场假设方面，第二是方法论方面，第三是实际应用方面。
第一，在市场假设方面，我们假设市场的运行不单是受黄金比率影响，其衍生比率对市场亦经常发挥作用，因此我们必须正视衍生比率的影响。
第二，在方法论上，衍生比率可以为我们解释大部分市场的走势，减少分析时的模糊区域。在这方面，应用衍生比率要视分析者对于中间地带模糊区域的忍受程度，这点因人而异。
第三，在实际应用方面，有两点需要特别注意: ①对于长线走势，由于幅度差距甚大，有必晏利用衍生比率，令计算目标更为精确，减低误差的可容忍程度。②利用黄金比率及其衍生比率，必须配合波浪形态的分析，当形态与比率的目标一致时，测市准确性便可提高。
前面已说过，根据几何分析，将正方形的对角线与正方形的边长比例作为矩形的延伸比率，如此类推，我们可以得到一个无限延伸的矩形，其增长的比率是根据数字的平方根比率，因此可称为"平方根矩形" 。
在实际应用上，我们可以根据市场周期的时间，利用平方根比率计算下一个可能的市场转折点。
以美元兑马克的走势为例(图6.4 ):
美元兑马克于1992 年9 月2 日创出历史性低位1.3860，之后美元大幅反弹，到1993 年8 月2 日的1.7485 马克告终，共运行236 个交易日。
在这段时间中，笔者发现， 美元兑马克的走势充分反映了平方根比率的完美地方，其一为√￣2 ， 其二为√￣3。
第一，美元兑马克由1992 年9 月2 日1. 3860 至1993 年4 月26 日重要低位1.5640 ，共运行166 个交易日。由1.3860 起计，166天的1.414 倍(√￣2) 目标为234.7 个交易日，与大顶1.7485 之日只相差1.3 天。
第二，美元兑马克由1992 年9 月2 日1.3 860 上升至1993 年3 月10 日1.6735 重要顶部，共135 天。由1.3860 起计，135 天的1.732 倍为233.8 天，与大顶1.7485 之日只相差2.2 天。
从上面分析，平方根比率在汇市确可大派用场。
应用平方根比率分析汇市的周期，笔者发现其中准确性甚为吸引人。以下笔者试引英镑过去走势中的例子:
( 1 ) 英镑由1992 年9 月8 日高见2.0100 美元后，大幅下跌，最低见1.4063 美元，共运行112 个交易日，其中清楚可见五个浪的下跌(图6.5 )。
第一浪至第二浪的时间共运行16 天，若将16 个交易日乘黄金比率1.6184 (即6.854 )，计算日期为110 个交易日，与1.4063 美元低位只相差2 个交易日。
( 2 ) 若以英镑由1992 年9 月8 日2.0100 至12 月8 日的1.6100 美元高位的时间幅度计，期间共65 个交易日，将65 乘1.732 倍(√￣3 )的目标是112.6 天，刚好到达英镑1993 年2 月12日1.4063 见底之日。
( 3 ) 英镑由2.0100 下跌至1.4063 的时间共112 个交易日，将112 天乘以1/√￣5 (0.447 倍)为50 天，刚好到达1993 年4 月26日的中期顶部1. 5975 美元之日。
( 4 ) 以英镑由2.0100 至1.5975 两个顶部计，期间共运行162天，162 天的0.618 倍为100天，乃是英镑于1993 年9 月10 日高见1.5572 美元之后的1 天，之后英镑大幅回调至1.5000 美元的水平。
平方根比率影响强大
在市场几何学里面，除了黄金比率之外，最常用于量度市场的时间及价位比率乃是平方根比率。在平方根比率中，最常被使用的，乃是2 、3 及5 的平方根， 其比率为:
① √￣2≈1.414;
② √￣3≈1.732;
③ √￣5≈2.236。
上面2 、3 及5 三个数字，刚好亦为神奇数字。
此三个比率，在市场几何学上甚为重要。以下笔者引用美元从1992 年9 月以来的升浪作平方根比率的分析(图6.6 )。
1992 年9 月2 日美元兑马克创历史性低位1.3860，之后进入中期上升浪。由1992 年9 月2 日1.3860 马克低位起，至1993 年全年低位4 月26 日的1.5660 ，共运行167 个交易日。以上面的时间幅度作一平方根比率的分析，影响如下:
( 1 ) 由1992 年9 月2 日起计，167 个交易日的1.414 倍为236天，刚好到达1993 年8 月2 日全年高点。
( 2 ) 由1992 年9 月2 日起计，167 个交易日的1.732 倍为289天，刚好到达1993 年10 月12 日低点。
( 3 ) 由1992 年9 月2 日起计，167 个交易日的2.236 倍为373天，刚好到达1994 年2 月8 日全年高点。
√￣3的对称作用
在市场几何学的研究当中，市场的对称性占据极为重要的位置，只要分析者能够掌握从前的市场波动规律，则这个市场规律将会在未来重现，以满足市场对称的结构。
在笔者的研究中，英镑长线走势的时间结构相当完美，可作为市场对称性的一个例证。
英镑兑美元于1980 年10 月高见2.4555 美元(图6.7 )，之后展开大幅下跌，最低于1985 年2 月低见1.0300 美元，共下跌226个星期。
由此低位起计，英镑展开大幅反弹，于1988 年高见1.8900 美元，共反弹165 个星期。
若以时间比率计算，由1980 年10 月高点开始，226 个个星期的1.732 倍时间刚好到达1988 年4 月的高点。1.732 是3 的平方根。
事实上，上述市场的波动在1985 年2 月的低位1.0300 美元开始重复发生。由1.0300 美元历史性低位起计， 226 个星期之后刚好为1989 年6 月的低位1.4935 美元。若以1.0300 美元起计，226 个星期的1.732 倍时间刚好到达1992 年9 月高点2.0100 美元，之后市场出现大幅逆转。
上述例证显示，√￣3的市场对称作用影响力甚大。
以数学比率分析英镑兑美元的长期走势，笔者发现，英镑的市场结构甚为有趣，与√￣3 ( 1.732 )这个比率关系异常密切。
事实上，英镑自1985 年以来共出现三个主要的顶部，分别是1988 年1 月顶部1.8900 美元、1991 年2 月顶部2.0045 美元及1992年9 月顶部2.0100 美元。计算显示，上述三个顶部全部与1980一1985 年的大跌浪存在着几何比率上的关系。
由1980 年高点2.4555 美元开始，英镑大幅贬值，下跌至1985年2 月低点1.0300 美元，整个跌浪共下跌226 个星期。根据226个星期计算，上述三个顶部的时间如下(图6.8 ):
( 1 ) 由1980 年高点2.4555 美元起计，226 个星期的0.372 倍的时间刚好到达1988 年1 月高点1.8900 美元。
( 2 )由1985 年2 月低点1.0300 美元开始起计，226 个星期的1.382 倍的时间刚好到达1991 年2 月高点2.0045 美元。
(3 ) 由1985 年2 月低点1.0300 美元起计，226 个星期的1.732倍的时间刚好到达1992 年9 月高点2.0100 美元。
上面证明，市场的转折点往往与从前的趋势存在着紧密的数学关系。
在美元兑马克的中期走势上，亦出现颇为完美的平方根比率关系。以下笔者作一引证(图6.9 ):
( 1 ) 美元兑马克由1988 年1 月4 日1.5620 进人大幅反弹，最高于1989 年6 月15 日见2.0480，时间运行75 个星期。由2.0480的高点起计，运行75 个星期的1.414 倍(√￣2 )，即106 个星期，其时间刚好到达1991 年7 月5 日高点1.8430 的前1 个星期，之后出现一个相当大的市场逆转。
( 2 ) 若由1989 年6 月15 日的2.0480 马克高点起计，运行75个星期的2 倍(√￣4 )，时间为1992 年5 月初，十分接近1992 年全年的顶部。
( 3 )若由1989 年6 月15 日的2.0480 马克高点起计，运行75个星期的2.236 倍( √￣5)， 时间共为168 个星期，刚好到达1992 年9 月2 日低点1.3860 马克，之后美元进入大幅反弹期。
上面的市场走势体现了几何学上的平方根关系。
数字结构与市场比率
在市场几何学的广阔领域，有两种主要的数学结构引起技术分析家的注意: 第一种是数字与数字倒数( Reciprocal )的关系;第二种是数字平方与数字平方根的关系。
上述两种数学结构经常在金融市场上出现，以数字2 为例，第一种数学结构所产生的是2 倍与112 倍的关系;第二种数学结构则产生2 的平方4 倍以及2 的平方根1.414 倍。若将上面第二种数学结构应用在2 与112 上，所得到的数字便为4 与1.414，及1/4 与0.707 。
总而言之，在一个原始数字上，可以根据上述两种数学结构，演化成六个市场几何学上的比率，包括:
① 倒数平方(1/n)2;
② 倒数1/n;
③ 倒数平方根√￣1/n;
④ 数字平方根√￣n;
⑤ 数字n;
⑥ 数字平方n2 。
依照数字的倒数关系与平方关系，我们可以引申出多个市场的重要比率。
数字序列里面，最基本的是2 与 3 ，其比率为:
数字 2 3
倒数平方 ( 1/2)2=0.25 (1/3)2=0.111
倒数 1/2=0.5 1/3=0.333
倒数平方根 √￣ 1/2=0.707 √￣ 1/3=0.577
数字平方根 √￣2 =1.414 √￣3 =1.732
数字平方 22=4 32=9
除了2 及3 两个数字之外， 5 及7 亦为重要的基本数字:
数字 5 7
倒数平方 ( 1/5 )2=0.04 ( 1/7) 2=0.02
倒数 1/5=0.2 1/7=0.143
倒数平方根 √￣1/5 =0.447 √￣1/7=0.378
数字平方根 √￣5 = 2.236 √￣7 =2.646
数字平方 52=25 72=49
若我们看数字的基本结构是以神奇数字序列为基础，其结构是1加1等于2、2 加1 等于3、3 加2 等于1 如此类推，其数学序列为1 、1、2、3、5、8、13 、21 、34 、55 、89……由上面的数字序列，我们可以得到神奇数字比率，其中最重要的是黄金比率。
黄金比率是以神奇数字中的后一个序列数字与前一个数字相除，最终汇聚为1. 618，其倒数则为0.618 。
若我们以黄金比率0.618 放在前述的数字结构里面，所得到的比率将为大家所熟悉:
数字 0.618
倒数平方 ( 1/0.618) 2=2.618
倒数 1/0.618=1.618
倒数平方根 √￣1/0.618 =1.272
数字平方根 √￣0.618=0.786
数字平方 0.6182=0.382
再进一步，若我们计算黄金比率的倒数立方、倒数立方根及立方，其结果为:
倒数立方 (1/0.618)3=4.236
倒数立方根 3√￣1/0.618=0.853
数字立方 0.6183=0.236
当我们要从市场几何学的角度了解金融市场波动的规律时，其实可根据两种数学的序列方法去探讨。
第一种是纵向的序列方法，即以某数字所衍生的数学比率去了解，例如以数字2 为基础，探讨市场时间或价位的0.25 、0.5 、0.707 、1.414 、2 及4 倍的关系。
第二种是横向的序列方法，即以数字的形式去了解市场波动的规律，例如以数字平方根为基础，探讨市场时间或价位的1.414 、1.732 、2 、2.236 、2.450 及2.646 倍的关系，等等。
究竟在什么市场应该应用何种比率序列，则必须由市场的过往波动规律去决定。若某种序列能够有效解释某种市场的波动形式，则应用该数学序列作进一步市场预测的成功率便会增加。
此外，某些情况下，在金融市场的某些价位，几套数学序列可能会汇聚在相当的水平，这些水平将成为市场的重要支撑或阻力，随时会扭转市场的大趋势。
最后，若几套数学序列无论是价位还是时间都汇聚在一起，市场出现重要转折点的机会则更大。
有关市场比率的序列如何应用在市场分析上，我们可以利用美元兑马克1991一1994 年的走势作一例子(图6.10 )。
美元兑马克由1991 年7 月5 日高位1.8430 下跌至1992 年9月2 日低位1.3860 ，共下跌4570 点，若应用黄金比率的序列计算美元的反弹，有以下结果:
( 1 ) 反弹0.618一一目标为1.6684 马克，为1993 年2 月的阻力。
( 2 ) 反弹0.786 (√￣0.618)一一目标为1.7452，与1993 年8 月高点1.7485 相差仅33 点。
( 3 )反弹0.852 ( 3√￣0.618)一一目标为1.7754，与1994 年2月高位1.7686 相差只有68 点。
从另一个角度去看，美元兑马克由1992 年9 月低位1.3860 开始反弹，第一组浪反弹至9 月17 日高点1.5305 马克。以此幅度计算平方根的延伸比率，有以下结果:
( 1 ) 延伸2 倍一一目标为1.6750 马克，与1993 年3 月高点1.6735 仅差15 点。
( 2 ) 延伸2.450 倍(√￣6)一一目标为1.7400，与1993 年8 月高位1.7485 相差85 点。
( 3 )延伸2.646 倍(抒)一一目标为1.7683 马克，与1994 年2 月高位1.7686 相差只有3 点。
由上面两种市场比率的分析，美元的重要阻力在: ①1.6684~1.6750 马克; ②1.7400~1.7452 马克; ③1.7683~1.7754 马克。
在各种市场比率中，相信黄金比率0.618 与1.618 最为人所熟悉。事实上，上述比率对于英镑兑美元的长线走势影响极为深远，在此值得一提:
( 1 ) 英镑由1976 年10 月低位1.5745 美元起计(图6.11)，上升至1980 年10 月2.4555 美元，上升共8810 点，之后，英镑大幅下跌，至1985 年2 月低见1.0300 美元，下跌共1.4255 美元，下跌幅度刚好是之前升幅的1.618 倍，相当神奇。
( 2 )由1985 年2 月的低位1.0300 美元开始，英镑大幅反弹，至1988 年4 月高见1.9055 美元，屈指一算，刚好反弹了之前1980至1985 年跌幅的0.618 倍。到达0.618 阻力水平后，英镑出现近3400 点的跌幅。
( 3 )英镑由1988-1992 年经过反复涨落后，于1992 年9 月高见2.0100 美元。计算起来，英镑由1985 年1.0300 美元上升至2.0100 美元，共上升9800 点。值得注意的是，英镑于1992 年下半年出现大幅贬值，于1993 年2 月最低见1.4065 美元，其支撑位实际上乃是1985一1992 年英镑升幅的0.618 倍回吐水平，非常准确。
综合来说，0.618 与1. 618 的市场比率在市场走势之中，确实起着难以解释的作用。
黄金比率1.618 与其倒数0.618 在英镑走势中发挥很大的影响力。事实上，若读者仔细研究英镑走势中的时间价位几何关系，可以发现，√￣2约为1.414 与其倒数0.707 亦对英镑产生重大威力，最重要的是在1992 年9 月引发英镑兑美元大幅贬值。
在价位方面，英镑由1980 年10 月高见2.4555 美元后大幅回落(图6.12 )，最低于1985 年2 月低见1.0300 美元，跌幅1.4255 ，若计算其反弹的0.707 倍，目标为2.0378 美元，与1992 年9 月高点2.0100 美元，相差只有278 点或2.76%。
时间方面，英镑由1985 年2 月1.0300 美元上升至1988 年4月高点1.9055 美元，共运行163 个星期。由1.9055 美元高点起计，163 个星期的1.414 倍为230 个星期，刚好为1992 年9 月8 日英镑见2.0100 美元大顶之后的1 个星期。
由于时间及价位都到达√￣2及其倒数比率，英镑于1992 年9月出现大幅下泻。
从上述例子，笔者有如下市场几何学理论的总结:如果市场的走势，无论在时间及价位上，都到达重要的平方根及其倒数的比率水平，市势便有可能出现一个重要的转折点。
对称关系
在市场几何学中，几何比率极为重要，但若将之还原至原始状态，市场的对称作用便不可忽视。总的来说，市场几何学的理念极其简单，但效果却相当强大，主要有以下两方面的分析:
( 1 ) 市场时间的1 : 1 关系。
( 2 ) 市场趋势之间的平方根比率关系。
从美元兑马克的中线走势来看，上述两种关系对于市场趋势的发展有着极为深远的影响。
在市场时间的1 : 1 关系中，有两点值得留意:
第一，美元兑马克由1988 年1 月4 日的1.5620 开始进人大幅反弹，至1989 年6 月15 日2.0480 马克见顶，期间共运行75 个星期，上升4860 点。1992 年9 月2 日美元兑马克于1.3 860 见底，进入中期反弹，至1994 年2 月8 日1.7686 见顶，上升3826 点，而时间刚好也是运行75 个星期，与56 个月前的升浪时间一模一样(图6.13 )。
第二，美元兑马克由1988 年1 月4 日1.5620 低位至1992 年9月2 日1.3860 低位，两者相差共243 个星期。无独有偶，由1989年6 月15 日的高点2.0480 至1994 年2 月8 日高点1.7686 ，两个重要顶部的高点相隔亦为243 个星期。
上述两个观察，充分反映市场时间1 : 1 关系的重要性。
市场对称性
在市场几何学中，我们十分强调金融走势的对称作用，这种市场的特质，我们称之为市场对称性( Market Symmetry)。
市场对称性，是指在价位及时间循环上，若出现某一个幅度的波动，则在其后的市场发展中，该价位或时间的幅度会在对称的地方重复出现。
上述概念，在多种技术分析理论中都曾断断续续提及，包括艾略特的波浪理论、江恩理论与卫奕达(W.Wilder) 的亚当理论( Adam' s Theory )，其中卫奕达在这方面作出了深入的研究。不过，亚当理论所述及的市场对称性，只作为买卖技巧在方法论上得以应用，未曾将之看作一种市场的结构本质。
以下笔者引用美元兑马克的例子，以解释市场对称性的现象。
美元兑马克于1991 年7 月5 日见1.8430 高点之后，开始一个中期跌浪，其第一组跌浪由1.8430 下跌至1.6990 ，共下跌1440点，之后大幅反弹，回试高位(图6.14 )。
当上述跌浪于1992 年9 月2 日1.3860 马克见底后，美元大幅反弹，最高见1.5305 马克，反弹共1455 点，之后大幅回落，回试低位。
上面两组市场作用，无论在幅度及形态上，皆如出一辙，都发生在一个趋势的起始点。
市场的对称性经常在不知不觉中发挥作用，以美元兑马克由1994 年2 月开始的走势为例，这现象又再次出现(图6.15 )。
美元兑马克由1994 年2 月8 日1. 7686 开始一个下跌的趋势，这个跌浪的第一组浪由1.7686 下跌至1.6588 马克，下跌共1098 点，而这个下跌趋势的终点则运行了1098 点的2.618 倍，于1.4845 马克见底。
从1994 年10 月25 日1.4 845 马克开始，美元出现大幅反弹，于1994 年12 月9 日见1.5835 马克，反弹共990 点，其反弹幅度与前者1098 点相差只有108 点，之后出现大幅下跌。
此外，从时间的角度考虑，其对称性亦同时出现。由1994 年2 月8 日1. 7686 马克至3 月25 日1. 6588 马克，共运行33 个交易日，而1994 年10 月25 日1.4845 马克至12 月9 日1 . 5835 马克之间，亦同时运行了33 个交易日。
由上可见，在1994 年的市场走势中，市场的对称作用发生在下跌趋势的起点与跌势完结的时间，十分巧妙。
值得注意的是， 1994 年2 月8 日开始的下跌浪运行了33 个交易日，由这组跌浪的终点1.6588 马克起计，33 天的4.618 倍时间之后，市场便到达该形态重复出现的10 月25 日1.4845 马克。