第二节 混沌理论

一、混沌理论之源起和发展

自有科学以来，世界各地的科学家都在探求自然的秩序，但对无秩序可供依循的现象，如大气，骚动的海洋、野生动物数目的突然增减或消失、心脏跳动和脑部的变化等，却都显得相当的无助。到了20 世纪60年代，美国与欧洲有少数科学家开始从这些看似混乱无序的数据中找出了一一条出路。各个领域的科学家都尝试着从各种俯拾即是的混沌现象中找出规律。例如，复杂不定的天气变化，风中摇曳的旗帜，水龙头由稳定的滴漏变成零乱，股市的崩盘中蕴涵的一些规则，以及其他在简单模式中所隐藏的各种令人惊讶的复杂行为。

20世纪60 年代初，一位气象学家爱德华。洛兰兹(Edward Lorenz )  利用计算器进行“数值天气预报”试验。他发觉只要输人的数据存在些微差异，便足以令计算结果出现极大分别。这正表示，由于实际上气象以至任何观测都存在误差，“数值天气预报”在一定程度上也具有不可预测性。所谓“差若毫厘，谬以千里”就是形容这种情况。洛兰兹的这个发现，很多人称之为“蝴蝶效应”。这个名称或许出自洛兰兹在1972 年以“可预测性:- 一只在巴西翩翩起舞的蝴蝶可否让德克萨斯州引起龙卷风?”为题的演说。但这也正与洛兰兹的发现有明显的关系。图2-5中酷似一只蝴蝶的图案其实就是洛兰兹的“数值天气预报”试验得出来的数据。蝴蝶左右两翼代表了他发现的两组由于些微的改变，而导致极不相同的计算结果。关于洛兰兹的计算方法可至http:l/www.caiwangschool.com/index.asp “好玩的混沌理论”帖中下载相关的文档，可自行更改参数，体会混沌理论发展过程中的一些好玩又有名的例子。

表面上，“混沌”理论看来非常深奥，但其实它与我们的日常生活息息相关。从浪花的变化，龙头上水滴的节奏、闪电的位置，到股票市场的波动，彩票的结果，都存在可用“混施”理论解释的规则性。

混沌理论的基本的手段就如同物理学与生物学一样: 物理学家为了解物质组成的成分，就把物质尽可能地切成非常细微的部分，诸如电子，质子，乃至于夸克，生物学将动植物的细胞再细分成DN A，RN A,粒线体等成分。混沌理论也是将所有的数据切割成各种细小的成分，唯- -不同的是，一般数据无法像物理学的物质或生物学的细胞- -样能有清晰的界定，所以就采取各种大小网子去筛选观察，分牌每组数据属于
哪种混沌的型态。

在介绍混沌理论要点前，先给些基本的说法，让从没接触过混沌理论的读者容易了解这个理论的一些基本观念。也就是先从中国老祖先常用的- 一些成语中去了解混沌理论，如此更容易人门: 诸如一沙一世界、一叶知秋(碎形的白我相似性)，之前所述的“差若毫厘，谬以千里”、防微杜渐(蝴蝶效应》、万变不离其宗(奇异吸子)。如此的比喻，只为了更容易学握混沌理论的重点，无关学术，特此申明。

二、混沌理论要点

非线性(nonlinearity).对于初始条件的敏感性(sensitivity to initial conditions)、奇异吸子( strange al-trad tor )、  回馈feedback 》和迭代(iteration),都是混沌理论的重要概念。各项要点，简述如下:

1.非线性(nonlinearity }

“ 线性”  (linearity) 是指小的起因将造成小的后果，“非线性”则反之，不起眼的小原因可能引发巨大震撼性的结果。线性因果关系一般被视为常态，所谓“种瓜得瓜。种豆得互”。混沌理论却认为“非线性”才是自然和人文社会的常态，任何事物和现象间常因交互纠葛，形成错综复杂的混沌状态。

2.对于初始条件的敏感性(sensitivity to initial con-ditions),或称蝴蝶效应(the buttecly effect )

" 蝴蝶效应”系巴西飞舞的蝴蝶，其翅膀翩翩所产生的空气扰动，将可能造成德克萨斯州的暴风雨，意调渺小不起眼的事件或现象。在纷扰不可测的混沌系统中。可能会扮演具影响性的关键角色。换言之，整个系统的发展。  对微小初始条件有相当程度的敏感，系统的变迁是非线性的。而从另- 一角度来看，初始条件的敏感性具有积极创造的成分，可促使系统因时空变异。缔造出适宜的系统型态，免于系统崩溃的危机，也造就了突变的适应机制。

3.奇异吸子(strange attractor)

将数据以量化图标方式呈现，很容易发现吸子存在的踪迹。尽管事件或现象的演变极为混沌，然而经历长久时间的变迁，在诡调多变的状态中，仍可清晰看出是不规则的变化，还是遵循某些特定的范围或形状而变化。引申而言.奇异吸子表示系统有一个或多个潜藏的规准或原则，它会主导系统的演变，虽然幻变万干，但仍在某特定范畴内，它具有稳定的性质，可以被预测。可视为影响系统运作的重要因素。

4.回馈(feedback) 和迭代(iteration )

混纯理论认为系统本身具有回馈机制(feedbackmechanism),能将系统的输出再馈转为输人，如此迭代形成回馈回路(feed back loop)，当系统外部环境或测量尺变动时，将引发系统产生自我组织(self-organizing) 和转变，使混沌状态逐渐变成稳定状态。

混沌数学或浑沌科学之所以引起科学家注目，是因为一般而言，万物应当归于一种特定终极型态，例如平衡、稳定、均匀混合。几百年来各种科学家一直以逻辑方式推导出许多事物的未来与过去，都得到正确无误的结果，因此人们一直沿用这种方法来解决各种问题。但在研究到微观世界或是遇到了毫无秩序可言的系统时，就会发现单用逻辑推导好像行不通。以往都以几率的观点来解释这些无序的现象，但是几率的方法无法得到更稳定的答案，也就是爱因斯坦(Albert Einetein) 所言:“上帝不会掷骰子(Cod docanotplay dice)"。于是混沌理论替大家找出了一个模式，解释了以前所认为的混乱无序的现象不是没有法则，其实只要由几个简单的方程式与参数用重复不断的迭代方式即可完整表达。

5.碎形(fractal)

碎形(fractal) 是在1975 年由IBM 华特生研究所的曼德布洛特。加龙省(Benoit Mandelbrot) 所提出，fractal原意是“破碎”的意思。碎形的维度并非是一般常见的“整数”维度，像在平面上是二维度，立体是三维度，再加上时间就是所谓的四维度，也就是我们常听到的四维空间。但是，碎形的维度是分数的形式。而且碎形的图形具有迭代性，所以会在愈来愈细微的尺度上不断自我重复。在自然界之中可以常见到具有碎形结构的现象发生。

碎形具有两种基本性质:一是自我相似性(self-sim lar);二是尺度不变性，或称为无穷的结构(scaleinwariant) 。

至于如何计算出碎形的维度呢? 现介绍一种盒子维度的计算法(Box- Counting Dimension),其实就是Hausdouff Dimension 测量方法的简化。

顾名思义，Box- Counting就是把一个碎形图形放进一些固定边长的方格子里，然后再计算碎形图形占了几个方格子的数目。

计算的方法就是不论用哪一种边长(r),H都相同。如图2-7。 

现在先以图2-7 为例，两个方格图中左边的一个点，不论是r=2或r=1，都只占了一个格子，所以H=1x2"=1x1"，故这个点的维度是零; 同理，图2-7中，左边的方格图中的一直线占一个方格，右边的方格图中的一直线占两个方格，H= 1x2'=2 x 1',故这一直线的维度是一，也就是一一度空间; 图2-7中的左边的方格图中的正方形占一个方格，右边的方格图中的正方形占四个方格，H=1x2"=4x1",因此我们知道正方形是二度空间。

以上这三种都是属于整数维度的图形，简单地使用直观的方式即可得到答案，但是，  如果遇到复杂的碎形图形，  如图2-8,就必须使用指数的计算方法:

H=Sx3*=25x1"; 3'=5; 则d=log35;

由指数的换底公式可以得知: d =log5 +1og3=0.69897- 0.47712 =146497

所以图2-8 中的这个碎形的维度就是146497。

以上皆为混沌理论的基础，对于如何正确地计算股票市场E处于随机或是混纯的阶段，一般使用变尺度分析法(Rescaled rarnge analysis》。

变尺度分析法是英国学者Hurst 在研究埃及尼罗河水量时，提出的- -种新的研究方法，即改变时间尺度分析法。这种方法的主要思想是改变所研究对象的时间尺度大小，观察其统计特性变化的规律，从而将小尺度时间范围的规律性用于大尺度范围，或将大尺度范围规律沿用至小尺度的研究。这种改变研究尺度大小的分析方法我们称之为改变尺度范围分析，简称为R/'S 分析。R/S 分析法被广泛地用于分析各种自然现象的长期记忆效应和记忆周期，当然也包括对股票市场的分析。应用RVS 分析法对不同的资本市场进行分析，可以证明资本市场是具有分形结构和非周期循环的非线性系统。

股票市场R/S 分析的计算过程可表述如下:

假设P: 为1时股票的平均价格，为了便于对股票市场的分析，首先，我们应将其转换为对数价格。具体公式如下:

X=In (Pi/Pi-1)，ie  [2,，N]，N 为资料总数

将N- 1个对数价格分成A组，每组n个数据(n=7,8,9,  N2)，即A+n=N-I,则在前n个时期对数价格的均值及标准差为:

由此可知，只要确定了n值，并计算出(R/S)。的值，H的值就可以得出，但由于上式是非线性方程，所以H值不易算出。为了方便计算，我们将上式两边分别取对数，得方程;

log(R/S)。= log(C) +Hlog(n)

由于 n=7，8,9, ...， N/2,所以我们可以得到N/2-6 个(R/S)n，因此利用上式对N/2~ 6 个[Log (N)，Log (R/S).] 进行直线回归，得其斜率即为H值。

对于H值的判定如下:

(1) H=0.5,即过去的增量与未来的增量不相关，这正好是通常的布朗运动(Brownian motion) 实际是具有独立增量的随机过程。此时的股票市场是随机游走的，股票价格服从常态分布。

(2) 0.5<H<1,即未来的增量与过去的增量是正相关的，也就是说过去趋势增加，则未来趋势也增加。此时的股票市场具有持久性和连续性，即所谓的长期记忆性，股票价格服从有偏随机行走。

(3) 0<H<0.5,即未来的增量与过去的增量是反相关的，也就是说过去趋势增加，则未来趋势将减少。此时的股票市场具有反持久性和非连续性，股票价格的突变性增加。

另外。我们还可以根据H值和(RVS).值估计出序列的周期长度。

具体公式如下:

当H=0.5时，序列的周期长度V 与log(n) 是相对独立的;0.5<H<1时，V.与log(n)是正相关的;0<H<0.5时。K与log(n) 是反相关的。

混沌理论现在仍是处在数的研究范畴，其重点反而应该在于其精神，而非计算的过程研究，这就像许多人喜欢运用易经或扑象来预测股市、期货等金融市场一样，与其花费心思从K线图取卦，还不如细细品味易经中的干卦卦爻与卦辞，体会其中变化之道，或是直接思考一年中的春夏秋冬如何变化。混沌理论的应用也应该秉持着老祖先所说的“不以数推以象”，才能运用于金融投资或预测上。