第15章 市场冲击最小化
算法系统执行交易，通常也叫作算法执行或智能下单方法，是指一套用于确定小额交易与执行下单的最优方式的程序化计算机方法。一个理想的算法执行，将会不断地在指定时间内以最低价执行客户买人委托，并在最高价时自动转为卖出委托，以实现"最优的交易执行" 。鉴于在一段时间内精确定位价格的最低点和最高点比较困难，良好的算法会根据预先确定的最优条件实现一定的价格改善。最优条件的设定可能是基于交易商的风险规避、并行市场状态、由交易商选择的基准以及一系列其他因素，本书对这些问题进行了详细的论述。执行算法可由买方交易商从"内部"建立，也可从算法供应商处购买"现成算法"，或者从交易商的经纪商处获得一次性执行许可。经纪商可以提供算法来赚取佣金，或者提供某些与执行基准相关的算法来节约部分成本。
算法执行交易是从人为最优执行交易实践中自然演化而来的。几十年来，经纪公司通过承诺用自己独特的能力来确定市场的高点与低点，并为客户协商优先条款来争夺客户订单。算法执行是以人类经纪商开发的一种自动化、无人化方法为实践基础的。
从古典金融和定量技资组合管理的角度来看，最优执行算法的存在是用来弥补自然市场的缺陷。
为什么选择执行算法
执行算法对所有投资者来说已是必不可少的交易方法，因为它能够通过将大订单分解为多个小订单，减少市场冲击和降低订单的可见性，来帮助交易商积累或清算交易头寸。为了避免"漏单"，在订单执行失败时，限价订单算法会取消许多订单。随后，这些订单通常又会以接近市场的价格迅速被重新提交。
不同的算法可以以不同的方式大幅降低执行成本。执行成本包括交易所及经纪交易商费用、买卖差价、未执行限价委托单的机会成本和冲击成本等。根据Engle 、Russell 和Ferstenberg ( 2007) 的研究，例如，算法产生的成本取决于算法执行订单的激进程度: 被动订单虽然可以通过避免交易价差"节省"投资者的资本，但是，当被动订单无法执行时，却可能会加大执行成本。另外，像小额交易的执行时间、与市场深度相对应的小额交易的规模等方面的算法设计，也会影响交易的执行成本。
除了执行净成本，交易商可能会考虑与算法风险相关的成本。订单未执行的风险是算法执行交易中最大的风险，但是这类风险可以以更高的市价订单执行成本作为代价来实现最小化，其中该订单成本的提高主要由价差、较大的冲击成本以及交易成本等混合因素所导致。算法执行中的其他风险度量方法，可能包括分批订单执行价格的变动性计算，以及将执行成本限定在一个最大值的风险价值度量方法。
为了比较几种算法的执行情况， Almgren 和Chriss (2000) 提出了有效交易边界的概念。例如，资本资产定价模型( CAPM) 框架下的有效市场边界，它以一个实用的图形描述了不同算法的交易情况，以及每种算法所产生的每单位风险情况。有效交易边界示例见图15-1 。经过分析，它可以表述为下列方程式:
式中，α 是订单激进程度，例如，计算市场上每个偏离市价的子订单数量; Cost(α) 是指在激进程度α 下，所有子订单策略都被执行的预期执行总成本，包括预期的冲击成本;Risk(α)的是指在激进程度α 下，所有子订单进行委托时的累积风险; λ 是风险规避程度，具体指交易商的风险规避程度。当λ=0 时，为不关心执行风险的交易商; 当λ=0.5 时，为风险规避交易商。
订单路由算法
订单路由算法主要是用来无缝地监测证券市场之间的各种情况的差异，并为投资者提供一份适合其风险状况的成本效益执行计划。因此，路由算法的目标如下:
● 执行成本最小化;
● 获取最优交易价格;
● 最大限度地提高交易执行速度;
● 交易痕迹最少化;
● 交易规模最大化。
算法会选择合适的交易场所和恰当的市场条件，以实现执行成本最小化。交易场所的选择可以简化收费结构，选择合适的交易执行时间可以捕获买卖价差小的时段，以及减少或消除滑点，或者消除随后的冲击成本(稍后详述) 。为了获取最优的交易价格，复杂的算法会进行短期的预测，以确保卖单能够在较高的市场价格时被执行，反之亦然。为了最大限度地给那些渴望捕捉目前市场状况的客户提升交易执行速度，该算法会寻求一个市场参与度较为适当且交易影响最小的交易场所。为了实现交易规模最大化和交易痕迹最少化，该算法会根据最新的科技进步以及投资者偏好，将订单分解为一系列小额订单或"子订单" 。大规模交易对于持有大仓位或战略能力较强的基金尤为重要。最少的交易痕迹可使外部交易商对订单信息的察觉程度降低，并且可以阻止外部交易商试图推断订单的信息内容。
算法执行性能的测量通常与某些基准相关。这项基准可以是交易日尾盘的收盘价，也可以是每日开盘价、盘中高价与低价以及收盘价平均值，也可以是每日开盘价或其他更为复杂的指标，如一些常用的执行算法。
算法的某些基准以及每日收盘价是最为常用的算法基准。任何投资者都将日收盘价作为自己依据日交易数据建立预测模型的一个简单参考因素，通常在建立低频定量模型时也是如此。每日收盘价几乎是投资者在对日交易数据进行分析时常收集的数据，而且它通常也是成熟预测模型的预测对象。因此， 一贯优于以日收盘价为基础的模型的算法在使用该类模型的交易员中存在着很高的需求，而且他们也愿意将算法中所获取收益的一部分支付给算法提供商。
然而，众所周知的是，交易商很难实现对收盘价的改进。与其他基准不同的是，收盘价是事先不知道的，想提前近似预测它们的唯一方法，就是采用短期价格预测模型。短期预测模型需要利用在第8~11 章所探讨的高频交易模型，同时还需要深入了解高频交易的复杂性。因此，交易商通常将其他常用的算法基准作为合适的算法性能基准。
下面将对执行算法的每一个目标进行详细的探讨。
执行成本最小化
交易成本包括以下几个主要部分:
● 经纪商佣金，包括固定佣金与可变佣金;
● 交易费用;
● 税费;
● 买卖差价;
● 滑点;
● 机会成本;
● 冲击成本。
获取最优交易价格
获取最优交易价格的核心准则就是"低买高卖" 。由于自然价格的波动，价格趋势有时难以预测，从而需要采用高级短期预测模型来实现这一目的。最优价格的执行会因为一些额外的因素变得更为复杂。考虑下面的例子: 在上午9 : 00 ，一位客户想以当天交易日下午4: 00 的收盘价至多买入10000 股IBM 的股票。根据交易中产生的问题提出以下问题:
● 鉴于市场的不确定性， 当天下午4: 00 的股票执行价格是多少?
● 客户所期望的执行交易规模要比正常规模交易大得多。订单是否应该被拆分为较小的订单?如果是的话，应该怎么拆分?
● 如果客户的1 0000 股订单被分解为更小的子订单，那么这些子订单进行交易执行的频率是多少?
● 每一个买入交易(卖出交易)都会消耗报价方(买方)的部分流动性，由此产生的流动性缺口将导致后续子订单以不利价格成交。这种影响，被称为冲击成本，是否能够被消除或最小化?
● 其他市场参与者可能观测到客户的交易痕迹，并决定以同样的方向进行交易，这会进一步导致价格向不利的方向变动。那么，可以实现交易痕迹最小化吗?
最大限度地提高执行速度
快速执行有利于捕捉当前市场状况。市价订单在流动性最大的市场中执行得最快。为了最大限度地提高市价订单的执行速度，投资者可以对各交易所进行调研，确定自己可用的流动性，然后以最大的流动性向交易所报送订单。然而，限价订单在流动性最低的情况下执行得最快。因此，限价订单最好在可用限价订单最少的市场上执行。图15-2 描述了对多个交易所的流动性水平进行探询，以及如何为给定的订单或零碎的订单选择合适交易所的过程。
如图15-2 所示，有以下三个交易所: 交易所1 可用的报价方流动性为2000 个交易单位(包括可以最好的报价进行交易的股票、合约等) ;交易所2 可用的流动性为3000 个交易单位; 交易所3 可用的流动性只有500 个交易单位。为了实现交易痕迹最少化，交易员将会首先在交易所2 进行3000 个交易单位或更少的卖单委托。当订单等于或小于从交易所可获得的相匹配的流动性时，可以确保市场秩序不会波动，或者仅轻微地波动，从而使交易留下很少或不留下足迹。
在交易所2 的账面流动资金用尽之后，市价订单交易商将转向下一个流动性最大的交易所:在我们的案例中，交易所1 具有最高的买入价，报价方流动性等于2000 个单位。然后交易商将在交易所l 下单2000 个单位或更少，然后进入交易所3 ，并在那里进行可用的流动性交易。
然而，希望执行限价买单的交易商将首先向交易所3 发出限价订单，因为该交易最优买入价可获得的限价买单的总体规模最小。交易商接下来将在交易所1委托限价买单，交易所1是一个以最高买价买入限价订单量总体规模第二小的交易所。按这种观点，限价订单交易商可能会或者也可能不会向交易所2 (目前是在买入限价订单方面最具有竞争力的交易所)报送限价订单。
选择交易所的基本原理是: 向限价订单最少的交易所报送限价订单，并向限价订单最多的交易所报送市价订单。这样的操作确保了订单被快速执行的概率最高。这一过程被称为市场冲击成本算法。
交易痕迹最少化
除了可以实现交易执行速度最大化，市场冲击成本算法也同样可以最少化交易痕迹以及减少市价订单交易中的干扰因素。市场干扰的确切原因已在第5 章进行了论述。市场干扰的动因可以解释如下: 每个订单都是一个可靠的信号，因为它揭示了交易商对交易商资金的真实信念。因此，每个订单都载有关于交易商当前观点的信息。其他市场参与者也可能希望依据这些观点进行交易，从而不必知道下单行为以外的信息内容。委托与最优买卖报价订单规模一样的子订单规模时， 不仅可以最大限度地减少由此产生的市场行情变化，而且还可以最大限度地减少各子订单信息的披露。
交易规模最大化
处理大量交易量的能力对投资者在其投资策略中部署大额资本至关重要。例如， 一个大型养老基金为了成功地重新分配养老基金的头寸，需要具有购买和出售大量证券的能力，且无须承担太多的额外成本。为了最大化交易规模，大型交易商可以在处理每个订单时使用市价订单和限价订单的组合。为了做到这一点， 一个寻求执行大买单的交易商可以通过轮询可用的最优卖价订单规模，或从最具流动性的交易所开始，配售等于或少于最低卖价时的流动性，直至用完所有可交易市场的账面流动性。随后， 交易商可能转向限价订单，通过在各大交易所配售最优买价订单，从流动性最小的交易所开始，然后在各大交易所滚动交易，以此提高卖方的流动性。图15-3 显示了该策略。大多数研究人员按照以下顺序开发执行算法:
1. 研究人员探讨发表和尚未发表的关于最优执行算法设计与实现领域的学术研究。一些交易商可能对使用已公开的研究持怀疑态度，担心市场已经利用已知的研究进行相关的套利活动。实际上，算法参数的变化可能导致算法结果输出完全不同，但其结果仍是有用的。
2. 研究人员用Matlab 或R 中的计量经济学语言来模拟算法，然后将代码转化为更快的编程语言，如C++ 或优化的Java。
3. 该算法使用对算法或订单交易产生的价格变动的假设和预测，对历史记录数据进行测试。
4 . 如果上一步能够得到令人满意的执行计划、价格、成本和风险结果，该算法就会投入实际应用中，它能凭借报价接收如FIX 、ITCH 、OUCH 、FAST 等语言发送实现实时通信。
分解大订单是交易商所采取的必要手段。1995 年Chan 和Lakonishok 的研究显示，如果一次性执行一个标准的机构订单规模，它大约占日交易量的60% ，即使可能，也会导致执行困难，成本昂贵。然后，在一定时间段内一次执行较小的"子订单" 。
根据Gathera l 、Schied 和Slynko ( 2012 )的研究，算法执行可以分解成三个不同的层次，如图15-4 所示。
第一层，可以描述为宏观交易商，让我们解答以下问题:
● 如何分解订单，算法分解订单的背后机制是什么?
● 当用算法进行交易时，算法多久以及在一天中的什么时间提交子订单?
● 算法应该交易多大的订单规模，子订单的规模应该多大?
● 算法应该交易多长时间:算法的范围是多少，什么时候算法停止?
第二层，可以描述为微观交易商，它定义每个子订单的额外特征。特别地，微观交易商负责决定是否将子订单作为限价订单或市价订单执行;对于限价订单，要设定什么样的价格。
第三层，智能下单方法，决定向哪些交易所报送子订单。
在过去两年中，在开发最优执行数学解决方案方面取得了重大进展。宏微观交易商的决定，并且智能下单方法都可以非常精确地定制给定的市场条件。最优执行解决方案可分为静态和动态策略组。静态策略是在交易前确定的: 它是基于过去的市场情况。成交量加权平均价格( VWAP ) 是静态策略的一个例子。相比之下，动态策略在执行过程中进行确定并改进，因此动态策略取决于当今的市场条件。无风险对冲是动态策略的一个例子。首先，动态策略似乎总是优于静态策略，因为动态策略会响应当前的市场状况，而静态策略则不会。在现实中，某些静态策略表现不错， 但只是在特定的市场假设下表现良好。
通常使用基准测试来比较静态策略和动态策略的性能，如以下简单指标:
● 平均实际价格比较了不同算法下每单位收到订单交易的实际价格:
式中，Pj为分解订单或子订单的实际价格; Vj为子订单j 的大小。
● 预售价格P0是在订单j 委托时的市场价格。
● 交易后价格Pj,post是由交易流量引起的临时流动性影响消失后的证券价格。为了确定Pj,post , 2005年，Almgren等人对△P进行了关于△t的回归，指出在时间△tpost上，△Pt的依赖性不再具有统计学意义。然后，时间tpost的价格P 即Pj,post。
● 总交易量
，可以用于处理大交易量相对于可用流动性的算法比较。在这种情况下，一些算法可能比其他算法更好。
● 类似地，调整的成交量交易规模为V/VDaily ， 其中VDaily是特定交易日的总交易量，它可以用来比较算法利用可用流动性的能力。
另外，用于评估执行算法性能的通用基准还包括其他常见执行算法类型，如时间加权平均价格(TWAP)、成交量百分比(pov)、冲击成本(MI) 、成交量加权平均价格( VWAP)、执行落差以及各种日内价格基准等，这些将会在本章的后续章节中讨论。
根据Kissell 和Glantz (2005 )的观点，订单执行基准可分为三大类: 盘前交易、盘中交易、盘后交易。表15-1 对这一分类进行了总结。
盘前交易类别包括执行前已知如下基准:
● 交易决策价格，交易商或投资组合经理决定的有利交易价格;
● 前一交易日的收盘价，可以作为日常交易商的基准;
● 每日开盘价;
● 到达价格，执行经纪商收到订单时的价格。
盘中交易包括以下基准:
● VWAP ，通过日内价格确定。
● TWAP ，也是在全天的价格基础上确定。
● 日均开盘价、最高价、最低价和近期平均价格(OHLC) 。
盘后交易包括未来收盘价，价格未知。
时间加权平均价格
时间加权平均价格( TWAP) 试图通过将大订单分解成相同大小的小订单来隐藏订单流，然后以相等的时间间隔报送。在数学上，TWAP 在每个预定时间单位上执行的订单量是固定的，为每个订单的1/T。
由此产生的TWAP 价格是在常规单位时间间隔内样本价格的算术平均值:
TWAP 算法如图15-5 所示。当交易商选择使用TWAP 执行订单规模为S 的大订单时，交易商还需要决定子订单或者分解订单的执行总数量N ， 然后订单的S/N 以每T/N 时间报送给市场，直到订单规模为S 的所有订单都成交。订单分解的总量N 和订单执行市场价格T 最好使用特定于交易证券的特征来确定。这些特征可能包括整个交易日的成交量的历史变化、执行开始时的市场深度以及许多其他变量。最重要的在于将订单分解为足够小的订单，如此一来，每个子订单都可以不被察觉地报送给市场，而订单足够大或者交易足够频繁，整个大订单就可以在合理的时间T 内交易完毕。TWAP 订单流如图15-6 所示，每个子订单都绘制为箭头。
成交量加权平均价格
成交量加权平均价格( VWAP) 算法目前是最流行的执珩方法之一。VWAP的原理很简单: 当成交量较高时，子订单较大;成交量较低时，子订单较小。较高的成交量可能会提供更大的匹配订单池，从而更快地实现更高的成本效益。
为了确定执行时间表，VWAP 算法使用了日成交量变动的历史平均值图，如图15-7 所示。该图是利用前一个月股票交易数据的计算绘制的: VWAP 图显示的是过去交易月份中每个交易日每隔15 分钟(或其他持续时间) 间隔的平均成交量。根据VWAP 图，子订单的大小确定如下:在整个交易期间，总订单大小S 按照该时间段历史上观测到的成交量VWAP 比例进行划分，如式( 15-4 )所示。图15-8 绘出了VWAP 算法。
基准VWAP 的价格可以确定如下:
VWAP 图完全基于历史数据，不能准确反映市场状况。即使如此，一般来说， VWAP 算法可以实现有效利用日内流动性的子订单的分配。VWAP 算法的相对有效性是基于日内成交量的持续性的:特定的市场有自己的日内数量变化，从这个月到下个月小量波动。例如，图15-9 显示了Eurobund 期货的小时VWAP 图，使用2009 年4 月和2010 年4 月的数据计算。虽然2009 ~ 2010 年Eurobund 期货的平均每小时交易量都有所增长，但VWAP 图的形状仍然基本相同: 在欧洲和美国开盘交易时段成交量上涨，随后，美国午餐时间交投平稳，成交量稳定，最后尾盘成交量飘升。
根据美国联合商品期货交易委员会和证券交易委员会2010 年就闪电崩盘的原因进行的报告， 2010 年5 月6 日，正是POV 算法造成了市场的混乱。调查发现，POV 算法在前一分钟设定的交易量为9% ，而"重要的大型交易算法"提交了41 亿美元的电子迷你合约，所以市场价格首次出现大幅波动。图15-10 说明了POV 背后的算法。和TWAP 和VWAP 一样，POV 算法以规律的时间间隔向交易所提交子订单。与TWAP 和VWAP 不同，每个POV子订单的大小是动态确定的，并在之前预定的时间段内(如10 分钟)被设定为成交量的固定百分比。执行算法直到整个大订单全部成交才会进入下一阶段。上一期用于计算POV 子订单的交易量应排除由POV 算法自己产生的交易量:
然而，美国联合商品期货交易委员会和证券交易委员会报告中没有提及大型交易算法中， POV 算法是否能够解释自身产生交易量的原因，也未能解释自己的交易量会导致子订单呈指数级增长的原因，以及说明可能导致闪电崩盘的危机程度。
当被正确编程时，与TWAP 和VWAP 相比，POV 具有一个明显的优势: POV 能够动态调整以呈现市场状况、即时响应流动性变化等事件。
基础模型的问题
上一节讨论的TWAP，VWAP 和POV 执行模型是在20 世纪90 年代发展起来的，现在仍然广泛流行，但它们存在着严重的缺点:
1. 只有在特定的市场条件条件下，这些模型才能被证明是最优的。
2. 使用高级数学工具才能简单地建立这些模型。
早期模型的优化条件
在有限的市场动态假设下，如轶定价方法( martingale pricing)、布朗运动算法(ABM) 、TWAP 和VWAP ，已被证实是市场上最优的定价模型。然而，棋定价方法与布朗运动算法假设市场不具备趋势性，这是一个严重脱离现实的假设。这也可以显示VWAP 在市场快速趋势中是最优的模型，其趋势完全主导短期噪声引发的波动。
然而，在大多数趋势和波动幅度相当大的市场条件下，这些模型失去了最优性。本章后面部分将介绍最新的适用于大多数市场条件的高级执行模型。
旱期模型的安全性
像TWAP，VWAP 和POV 这样的常用模型也缺乏安全性。模型的主要任务是分解和隐藏一般市场的订单流。由于这些策略发送的子订单所具有的常规性质，这些子订单可以用诸如自相关等简单工具和傅里叶分析等高级工具轻松发现这些子订单交易痕迹。
例如，TWAP 几乎没有隐藏来自任何熟悉数字信息处理基础知识的人的订单流，数字信息处理是电气工程的一项核心研究，通常用于修复损坏的CD 。如图15-6 所示， TWAP 包括大小相同的有规则间隔的订单。为了观察高频数据中TWAP 市价订单，因此需要:
1. 将所有最近市场交易中的高频数据标记为买单和卖单，如第4 章所述。
2. 按交易规模的大小将所有买单放入虚拟的"桶" (bucket) 中，卖单也如此。
3. 在每个桶中，识别彼此在相同时间间隔内发生的交易。
该过程可以实时连续重复，并允许系统预测下一个TWAP 算法运行的时间和成交量大小，从而消除TWAP 订单的原始目的。
由于交易规模的不同， VWAP 可能看起来更安全; 相反， VWAP 交易量按照前一个交易日观测到的时间特定成交量或波动幅度，或者前一周或每月的成交量平均值来衡量。虽然这种尺度化似乎可以防止VWAP 订单流的逆向工程，但实际上VWAP 订单流可以与TWAP 一样透明。
为了识别VWAP 安全性的局限，要考虑股权VWAP 的过程，如图15-11所示。成交量或波动尺度函数是VWMP 生成过程的所用函数，对用相同的这两函数所观测到的交易数据进行非尺度分析后，能够运用TWAP 类的算法来识别订单流，图15-8 显示了VWMP 转化为TWAP 的过程。
不同交易商使用的VWAP 尺度函数可能会因任意一个平均成交量、平均波动率以及计算日内成交量平均值的时间间隔宽度而异。即使如此，对整个订单流重复进行多次非尺度分析，使用不同的预先计算的尺度函数将能识别出给定的尺度函数所报送的订单流。
通过POV 算法发送的订单流可以类似地被识别。融合订单规模的可预测函数、订单的规则分布，可以减少订单流程。在POV 的情况下，订单流的函数形式取决于自上一个POV 订单以来所执行的成交量。
为了应对这些安全问题，一些市场参与者和经纪自营商会随机选择订单的规模和交易时间，以降低基础算法的透明度。虽然随机化可能会限制其他市场参与者使用前面所描述的基本方法观测订单流的能力，但是使用先进的数字信号处理技术仍然可以追溯订单足迹，如傅立叶分析法。
傅里叶分析法通常被用来识别"被掩盖"在噪声中的重复信号。数字傅里叶分析模型通常用于恢复损坏的音乐光盘或给流行歌手"纠音" 。同样，傅里叶分析可以用来观测基本算法的较为随机的订单流。
傅立叶分析的关键概念是傅立叶变换，这是一种连接时域和频域的数学结构。傅立叶变换的连续(相对于数字)形式具体如下:
式中， x 为基于时间的变量; F(k) 为频域函数。图15-12 ~ 15-15 说明了傅里叶分析的功能。
图15-12 显示了一个简单的连续循环过程，它可以通过频率为50 Hz (或每秒50 个周期的重复)的与时间相关的正弦函数产生。图15-13 显示了与傅里叶分析转变相同的过程。在时域上的重复周期变成频域里一个明显的尖峰。此外，尖峰直接落在50 Hz 周期频率上。
图15-14 显示了一个基于时间的不同函数: 在50Hz 和120Hz 处产生的两个正弦被噪声破坏。噪声可能表示随机的数据流，例如与TWAP 或VWAP混合的其他交易商订单。图15-14 中的周期很难通过眼睛来识别。然而，通过傅立叶变换的传递提供了一个明确的周期性描述，如图15-15 所示:在频域50Hz和120Hz处的尖峰很明显。类似的想法延伸到了"噪声"订单里周期订单流的识别中，致使TWAP 和VWAP 的有用性受到了市场交易商的质疑。
在过去几年中，市场上已经开发了很多高级模型来解决TWAP 、 VWAP和POV 算法中的问题。最新的算法将在下一节讨论。
高级模型
为了使用切合实际的市场假设，以及降低由基本的TWAP 、VWAP 和POV 算法引起的订单流透明度，研究人员已经开发了在趋势与波动混合的正常市场条件下运行的高级模型。在这些条件下，可以看出最优交易策略可以使订单补充率保持不变。订单预定补充是指按照市场秩序重新下单的过程，图15-16 显示了在限价订单中补充订单的实例。
程式化的补充函数假设订单拥有一个"影子"的形式，即当流动性用完之后，订单又得到补充的一种结构。假定影子订单的存在独立于当前价格水平一一影子订单随着价格的变动而沿着价格轴上下滑动。订单中的流动性回归到订单的影子形式被称为订单弹性(resi lience) 。
订单弹性h(Es) 是关于交易过程的一个函数，可以描述为:
式中， Et是在时间t 距离当前市场价格P 的p 分笔时的可用限价订单的总规模; Xt是总订单流量，在0≤t≤T时， E0= 0 且△X= △E,; h(Es) 函数测量的是订单按照△Xt的订单规模从p 分笔恢复到市场价格P 的速度，并且它满足以下特性:
● 函数中，X 是严格递增的。
● 该函数是开区间的莱布尼茨函数，满足[0，∞) : 对于所有的x 和y ，满足丨h(x)-h(y)丨≤C丨x-y丨式中， C 是独立于x 和y 的常数，且该函数具有一阶导数
交易商执行策略X衡量市场上总订单数量，总订单数量需要变换求出。如此， xo=X，xr= 0 。交易商的交易率定义为
交易工具的价格过程St，可以假设遵循任何连续性过程。独立于价格过程St，策略X对价格S 的预期影响可以以成本C 来衡量:
冲击成本的期望值可以通过以下部分汇总得出:
关于最新的最优交易执行研究方向，主要集中于在以下严格假设下开发最优执行算法:
1. 几何布朗运动是现代资产定价模型最为常用的假设。
2. 广义价格函数可用于描述冲击成斗唯架中倒可可凭经验观测到的价格变化。
本节回顾了基于两种价格演变模型建立的最新模型。
价格波动遵循几何布朗运动
大多数证券定价模型假设价格波动遵循几何布朗运动，价格增量dSt 依赖于当前价格水平St以及漂移项μ:
设定与采取任何风险优化措施无关，普通执行成本函数可以表示如下(见Forsyth 等人推导过程，2011):
式中，与先前一样，最优执行率为
在服从几何布朗运动的假设下，由此得到的成本最小化最优解依赖于价格波动路径。然而，如Forsyth等人2011 年所证实的，许多交易策略都会得出一致的结果。
建立欧拉一拉格朗日( Euler-Lagrange) 方程，得出成本最小化交易策略下最优闭式解:
由此产生的预期最小成本，
变为
过程见Forsytb (2011 )等人的推导。
价格波动遵循以广义冲击成本为基础的函数
然而，大多数传统的资产定价模型，如布莱克一斯科尔斯( Black-Scboles) 期权定价模型，假设证券价格的波动过程服从几何布朗运动，而新一代模型则提出在建立短期价格波动模型时要更切合它们以往的经验。在这些模型中，T 时的价格水平波动预期如下(见Gatheral ，2011):
式中，风险或噪声分量在价格水平上是独立的，为
前一交易的影响可以使用执行策略X 交易率变化以及
，以及测量订单弹性函数h(Et) 将其量化。预期执行成本可以表示为
为了最小化预期执行成本E[C ]需要计算下列方程:
可以解释如下: 成本最优值的计算要求交易率的成本不变。由于成本直接依赖于交易量冲击成本Et，最优条件的设定要求交易量冲击成本保持不变。
详细介绍可见Obizaeva 和Wang (2005) 、Alfonsi 和Schied (2010) ，以及Gatheral (2011 )发表的文章内容。
案例1 :指数型市场弹性
当市场弹性可以假设服从指数形式h(Et) = e-Pt时，式(15-17) 可以写成
式中，交易策略X 的期望执行成本可以表示为
为获取Et的适合条件， Obizhaeva 和Wang (2005) 指出，Et可表示为
式中， E0测量所选时间0以前交易的残余影响情况，部分积分得出
标准化E0通过E0=1，恒定交易量冲击成本的最优条件为
式(15-25) 转化为
式( 15-21 )执行成本的原始最优条件可以扩展为
将式( 15-27 )交易量冲击成本要素
代人式( 1日6 )，可以得到以下结果:
最优交易率ut可以表示为
式( 15-29) 可以解释如下:当市场弹性函数假定为指数时，最优执行策略包括:
●执行过程初始时，大宗交易规模为δ 。
●执行过程终止时，大宗交易规模为δ ，时间为T。
●时间加权平均价格类小型委托单在交易率ρ 时的连续性， ρ 是指数市场弹性函数的参数，即h(Et)= e-pt 。
图15-17 所示的是T=1时最优执行策略和ρ= 0.1 时指数市场弹性。图15-18 所示的是不同交易频率的最优执行策略。
资料来源: Obizhaeva and Wang (2005).
案例2: 军律型市场弹性
当市场弹性可以假设服从幕律函数h(Et）=t-y，最优策略可以通过恒定交易量冲击条件得出:
最优交易率为
式中， y为h(Et) =t-y的参数化常数， δ 由下式决定:
对于离散n ，y函数被定义为关于离散n 的
函数，以及关于连续z 的
函数。在初始时间0到结束时间T时所进行的大宗交易中，所得到的最优策略是连续的。最优执行计划如图15-19所示。
案例3: 线性市场弹性
当市场弹性为直线时，市场的弹性函数为h(Et)=(1-p t）＋， 最优策略可以根据恒定交易量冲击条件再次被推导出来:
最优交易策略中包括大宗交易之间没有交易间隔的谐波大宗交易，如图15-20 所示。
总体交易执行计划可分为2N 笔交易，且每一交易规模为
因此总体交易规模X 满足
最优执行策略的实现
为了确定上一节提出的每一框架下的最佳订单分解方法，执行交易商可以通过以下步骤:
1.估计经验冲击成本函数。
2. 选定符合交易安全性的临时性和永久性分布。
3. 基于步骤1 得出最优分配。
4. 执行策略测试。
5 . 将策略应用于现实生产环境。
由此产生的执行策略在选定的市场条件表现良好。
|总 结|
订单执行算法与当今市场是密不可分的。它对于广大投资者来说是必不可少的，它能够为或大或小的投资者提供巨大的价值。随着技术成本的下降， 大多数投资可以负担得起建立或使用以前只提供给少数市场参与者的先进下单技术和最优执行算法技术。在服务上，例如协同定位的服务为广大投资者带来了安全上以及交易速度上的额外好处。
|章 末 问 题|
1. 交易所A 提供的最优证券报价单位中包含300 个X 证券，交易所B 最优报价单位中包含500 个单位， 交易所C 最优报价单位中仅包含100 个单位。客户想让你以他的名义购买550 个X 证券。你将怎么分解客户的订单?如何以影响最小的算法对它们进行委托?
2 . 什么叫作TWAP 、VWAP 和POV ? 请解释。
3. TWAP 、VWAP 和POV 主要有哪些不足?
4 . 如何弥补TWAP 、VWAP 和POV 的缺点?
5 . 什么叫作订单弹性?