第10章 自动化做市Ⅰ：朴素存货模型
大部分高频交易系统用来提供自动化做市服务。大约30 年以前，做市服务完全由人工完成，但是现在则变成几乎完全依靠计算机处理的方式来提供; 本章分析了隐藏在成功的做市模型之后的基本原理。
引言
每个有经验的交易商都能详述一个居于主导位置的人工做市商所"持有"的某种特定金融工具交易的故事，这些金融市场的主要人物为他们的雇主创造了巨额的基于交易的利润，从而获得丰厚奖金并过着奢侈的生活。
除了少数情况，几乎所有讲述这些红极一时交易员的战事都是以相同的刺耳注解告终"于是有一天，市场开始背离他，他遭受了巨大损失并且在第二天被解雇。"这种"精疲力竭"的一个例子，是在某一家银行从事美元/加元外汇期货交易的交易员，长期以来他从事做市交易并通过自己的判断采取定向押注的方法来定期增加自己的获利和奖金。有一次交易员的判断急速背离市场，导致他的雇主几乎瞬时遭受数百万美元的损失。这次事件后，这个交易员立即被解雇了，且从此他被禁止踏足任何一个交易大厅一步。
相对做市机构和其他市场参与者而言，自动化做市具有几个优势。首先，自动化做市商保持基于脚本行事。与人类交易员不同，经过正确程序化和测试的计算机系统不会背离程序而任意采取自由行为。结果就是，自动化做市商减少了市场崩溃的概率和突破做市商底线的负面未预期程度。其次，自动化做市的执行具有成本效率: 一旦人力密集的编程和测试极端结束(见第16 章高频交易发展过程的细节)，自动化做市商仅要求少量补偿。总人数的减少带来的节省是显著的，这些在利润提升和交易成本减少的形式下直接转为自动化做市商的股东和客户的利润。
也许做市策略最优的特征是它们可以在不同的市场间扩展。假定新的集合交易地点同样配置了集中限价订单簿方法(见第3 章关于限价订单簿的定义和描述)，运行于配置集中限价订单簿的几乎任何一个做市策略，也可以被运用于另一笔交易、另一种金融工具甚至另一种资产类别。现在世界范围内大部分交易配置了集中限价订单簿模型，这使得做市技术完全可跨平白运用。
一个做市的运作过程如下所示: 一个做市商，无论是人工还是电子计算机控制的，执行限价买单和限价卖单。根据做市商现有投资组合的市场环境和头寸， 做市商会选择只执行限价买单或者只执行限价卖单。然而，一些市场的参与者会认为，做市严格来说是一个涉及在市场买卖双方同时进行公开、持续放置限价订单的一个活动。流动性供给是一个更为普遍的用来描述做市和大部分限价订单交易的名词。
当市场价格达到做市商限价买单的最高价时，这个价格成为市场上的最优买价，并且被传递给市场上的其他参与者作为一个Level I 的"报价" 。同样地，当做市商的限价卖单是市场的最低限价卖单时，做市商的订单成为一个最优报价或最优卖价.并且被其他的市场参与者所报价。
做市商的交易订单通过与引人的市场反向交易订单进行撮合来达成。做市商的报价表明"获取"市价卖单，以及做市商询价或者提供的限价订单表明会被随之而来的市价买单所拉升。随着每个限价订单被执行，做市商在他的账户里积累了或放弃了相当数量的可交易金融工具，这些就是我们所熟知的存货。一旦获得存货，做市商就立即开始管理存货以减少风险和增加收益。
因此做市商的两个显著功能是:
● 管理存货来确保足够的获利。
● 关注并对信息做出反应以避免被市场"碾压" (run over) 或"挑剩"(picked over) 。
太少的存货可能不足以产生利润;太多的存货又会使得交易商承担迅速偿付并面临一定损失的风险。
做市: 关键原理
简要地说，"做市"描述的是对市场买卖双方限价订单价格的布局。一个做市商将一个限价买单配制在略低于市场价格的位置，而将一个限价卖单配制在略高于市场价格的位置来创造或"制造 "市场" 。当另一个市场参与者报出一个买单，并且和做市商限价卖单相匹配，那么限价卖单就被执行(也就是说， 一个空头头寸被记录在做市商的账户里) 。相似地，如果另一个市场参与者报出一个卖单并与做市商的限价买单相匹配，一个多头头寸被增加到做市商的账户; 如果在做市商的投资组合里空头头寸和多头头寸的规模相互抵消，做市商获取交易的差价作为提供限价订单的补偿，或者作为向交易商配售市价订单的流动性补偿。市价订单的交易商被称为流动性的提取者。
当然，做市商也容易遭受风险。一旦做市商发出限价订单，他会立即面临两类风险:
● 存货风险;
● 逆向选择风险。
存货风险描述的是由于向然的市场运动，使得存货价格下跌带来的做市商会遭受存货价值下跌的潜在损失。因此，在市场处于下跌趋势、做市商可能会遭受头寸损失时，至少从短期来看，做市商会积累多头头寸(买入) 。此外，在做市商希望清空头寸、市场上其他参与者同时希望出售自己的头寸与做市商竞争时，存货风险就会发生，结果导致做市商在清偿存货时面临流动性难题。存货风险也包含了机会成本，来反映做市商在获取收益的同时等待执行限价订单的损失。
逆向选择风险衡量了做市商和市场接受者之间的信息差异带来的潜在损失。当市场的接受者相比，做市商拥有信息优势时，在交易中做市商最后可能出现损失。举例来说，当一个做市商的限价买单和市价卖单相匹配时，有可能是因为卖方相比做市商对即将到来的市场走向具有信息优势。在这个例子中，如果市场下行，那么做市商将要进行的是一笔会带来损失的交易。Per Copeland 和Galai ( 1983 )认为，所有的限价订单会因为信息劣势而遭受损失，从而被信息占优的投资者所击败。尽管存货风险和逆向选择会给做市商带来相当程度的损失，但这些风险可以被有效地控制。
模拟做市策略
限价订单的交易会产生非线性报酬;限价订单有时会被执行，有时不会被执行，这导致了限价订单建模的困难。这一部分研究了限价订单的建模逻辑。
假定在模拟订单被配置的同时，每个订单在最新的成交价格附近被执行，配置市价订单的策略可以通过可观测到的数据被模拟出来。与此相比，限价订单执行模拟的要求不止于此。大多数可靠的模拟认为，仅当最优反向报价达到或超越限价订单时一个给定的限价订单被执行，这个过程如图10-1所示。在最新交易价格或最优卖价落在模拟限价订单价格的下方时， 一个限价买单被认为执行。在最新的交易价格或最优买价超过模拟的限价订单价格时， 一个限价卖单标记被处理。
朴素做市策略
在这一部分阐述了仅与有效存货管理有关的做市策略实际应用的细节。基于短期市场方向性预测的优化处理在第11 章进行讨论。
固定偏离
最朴素的做市策略是根据事先决定的偏离市场价格的标记数在市场双向持续配置限价订单。自然而然，限价订单被执行的可能性依赖于限价订单的价格与现在市场价格的接近程度。限价订单配置在当前市场报价的位置很有可能被执行，而对于那些远离市场价格的被动限价订单的执行可能性接近于零。对大多数金融工具，做市商被允许仅在当前市场价格10% 以内配置限价订单，来阻止所谓的偏离市场的"无成交意愿报价"在市场极度波动的情况下被执行。
在朴素策略中， 一个限价订单偏离市场价格的幅度越小，订单被执行的概率就会越高，由此导致的做市商资本的再分配就越频繁。交易频率已经被证明是做市商盈利能力的关键。做市商"翻转"资本的次数越高，做市商能获取的累计价差就越高，并且做市商所承担的等待订单被执行的风险就越小。举个例子，斯德哥尔摩证券交易所进行的一项关于活跃交易股票的做市研究发现，当限价订单被撮合得越频繁，对限价订单的预期收益越高。Sandas (2001 )所做的一项研究表明，做市商的盈利能力和他们花费在提供流动性上的时间不成比例，相反，做市商的利润直接依赖于他们的订单被执行的频率。
与此相对应，早期的做市理论假定做市商满足于根据花在提供流动性上的时间获得补偿;等待订单被执行的时间越长，那些一旦提交了订单就没有改变他们订单参数的流动性提供者所期望的预期报酬就越高。持这些观点的包括Rock ( 1996 )、Glosten ( 1994 )和Seppi ( 1997 )认为是静态均衡模型。
静态均衡模型的假定，反映了早期的交易环境。改变一个限价订单的细节以及取消订单的成本是相当昂贵的，做市商的确期望由于承担一旦他们的限价订单被执行而最后会处于不利情形的风险获得相应的补偿。在撰写本书时，大部分市场上限价订单的删除和修改执行是免费的。因此，现在的高频交易做市商相比于人工做市商的做市商而言，享受更高的盈利。
然而，在最优买价和最优卖价的位置配置订单的能力会受限于高频交易做市商的技术。领先的技术水平使得做市商可以持续地取消和重新提交他们的限价订单来确保订单紧随市场的发展，具有较高的执行率和盈利能力; 相对落后的技术可能依然通过与进行中的市场价格较大的偏离来实现获利的做市策略。
基于波动的偏离
可以通过区分不同市场环境下限价订单的偏离程度，来改进固定偏离策略。一种直观的方法是改变偏离程度使其具有波动性的功能: 在高度波动的环境，偏离市场更远的限价订单很可能会被匹配，从而为做市商产生更高的溢价。然而在低波动的环境下，限价订单可能需要配置在更靠近市场价格的位置从而成交。式( 10-1 )列出了一种基于波动的偏离程度的决定方法:
偏离程度是订单到达速率的函数
另外一种提升朴素做市策略的方法是根据市价订单的到达频率来决定偏离程度。正如Parlour 和Seppi (2008 )所指出的，限价订单和其他同时存在以及未来提交的其他限价订单的竞争。此外，所有的限价订单执行的是未来的市场订单。因此，市价订单的到达率是做市获利能力的一个重要决定因素。
假定市价订单的到达之间相互独立且很大程度上具有随机性。然而，就像地铁列车或有轨电车的到达一样，订单到达的随机性能够通过使用良好定义的统计分布来模拟。举例来说，在到达间隔时间呈现指数分布的假定下，交易订单以某一特定的平均到达率μ 到达市场来撮合竞价和询价，限价订单假定以平均到达率λ 重新列入限价订单簿首位; 那么限价订单簿首位的限价订单被撮合成交的概率，能被表示为一个由λ= 1/λ 、μ=1/μ 和给定的间隔时间△ t 表示的函数:
参数λ 和μ 可以根据近期的交易数据进行校准。Leve I的数据可以用来对最小时间间隔△t= 1 进行参数校准。当最优买价上升或者最优买价的规模增加时，假定一个新的限价买单到达; 当最优卖价上升或者最优卖价的规模减小时， 一个市价买单被记录。Avellandea 和Stoikov (2008 )提出了一个部署到达率的案例。
另一个分析决定限价订单最佳偏离程度的模型起源于Foucault 、Kadan和Kandel (2005) 。这个模型明确表明， 一个交易商是应该配置一个被动的还是激进的限价订单，以及在市场价格偏离多远的程度配置他的限价订单。
这个模型做出了如下主要假定:
● 所有其他的执行参数都已经被选定。
● 市场上所有的交易商都可以自由地从被动向激进执行转换，反之亦然。
交易商配置一个被动还是激进订单的决定性因素是所谓的"预期价差"，定义如下:
式中:
● δ是做市商的预期执行美元成本，该成本可以体现对市场冲击的预期。
● ó是最小报价单位，对股票资产而言是0.01 美元。
● μ 是在每个时间单位匹配市价订单的到达率; 1/μ 代表了两个连续订单到达的平均时间间隔;如果这个模型被用来确定限价买单的活跃度，μ 就是市价卖单的到达速率，通过记录在每个时间单位市价卖单的数量来计算; Foucault 等人(2005 )认为，所有的订单包括市价订单和限价订单都假定具有相同的规模。
Foucault 等人( 2005 )使用预期价差jR 建立了一个短期均衡，所有的交易商都达到他们的最优化。在进行分析的时候，Foucault 等人(2005 )认为存在三种不同类型的市场:
1. 一个市场由相同的(同质的)交易商构成。
2. 一个市场由两种不同类型的交易商构成，他们面临不同的交易成本。
3 . 一个市场由q 种不同类型的交易商构成，他们的交易成本相异。
隐藏在该模型运作之后的主要判断如下: 交易商的预期价差是对特定订单部分的执行成本。如果市场的即时价差比交易商的预期价差小，交易商可以避免在配置交易时与未能执行风险相关联的额外花费。如果交易商在每一反向订单到达速率条件的执行成本比市场价差小，交易商会配置一个激进限价订单，通过避免交叉价差缩小价差并进一步改进他的成本结构。
在由相同的交易商所构成的市场上，所有的交易商[1 …q] 具有相同的交易成本，面临共同的反向订单到帖率，由此产生相同的预期价差: 
在这样一个市场里，每当内部市场价差s 大于jR时，每个交易商会提交一个与市场价格背离jR 的限价订单，否则会提交一个市价订单。这样的一个市场以高度竞争性的产出为特征，同时交易商缩小市场价差至最小的交易规模。
在由两个面临不同交易成本的交易商构成的市场上，相似的动力发挥着作用。每当市场价差s 大于j1R ，交易商1 在市场价格偏离j1R 的位置配置一个限价订单。同样地，每当市场价差s 大于j2R ，交易商2 在市场价格偏离j2R的位置配置一个限价订单。但是，当市场内部价差s 大于j1R且小于j2R 时，交易商2 配置一个市价订单，而交易商1配置了一个偏离市场价格的j1R限价订单，潜在地缩小了价差。这个市场上的订单如果规模相同，那么没有交易商会配置一个限价订单"落后于"市场或者超过价差的远离市场。
在一个由互异的交易商[ 1 … q] 构成的市场上，
，相似的动力机制作用着: 每当市场价差s 小于第i 个交易商的预期价差j1R所有的交易商[i… q] 配置市价订单;换而言之，所有预期价差小于市场价差s 的交易商于他们预期价差的位置配置限价订单。
交易商交易成本的差异可能是由以下几个因素造成的:
● 交易费用: 大型机构交易商很可能面临比小型交易商更低的交易费用。
● 市场冲击: 大型交易订单相比较小型订单而言，预期能产生更大的市场冲击。
● 税费: 个人投资者可能会在他们的交易获利中承担较高的边际税率。
● 其他可计量的交易成本。
Foucault 等人( 2005 )提出的模型仅仅考虑了一个交易商面临的综合交易成本，并没有将各种不同类型的成本区分开来。
Foucault 等人( 2005 )提出的模型 
的含义，主要包含以下结论:
● 较高的市价订单的到达率导致较低的顶期价差，从而导致更低的市场价差。因此， 竞争性市价订单对市场来讲是有益的，降低了总体的交易成本。
● 较低的交易成本同样导致了较低的价差，这表明折扣有利于促进订单以较低的成本执行，而不是使得交易更加昂贵。
● 然而，高的执行成本和低的市价订单到达率，导致了高的预期价差，这会造成无交易的真空，从而可能会破坏市场。这种情形可以通过观测遵循无成交意愿报价的远期期货市场所得:由于低需求和由此导致的低数量订单，在远期期货市场上的交易商遵循传统的在较宽范围内报价，整体偏离市场。欧洲颁布了这种报价的禁令; 美国在2010~2011 年禁止交易商在超过主导市场价格10% 的位置配置限价订单，自然而然地消除了背离市场报价的成交能力，并且在这个过程中使得农户、农业生产过程和其他消费型的交易商免受损失。
同时， Foucault等人( 2005 )的模型为预测微观交易商行为奠定了开创性的基础，但几个模型的假设背离市场实际，也因此限制了模型的适用性。举个例子，模型假定所有的限价订单和市价订单总是具有相同的规模，反向市价订单的到达率μ 和执行成本δ 不随时间发生变化。因此，模型里所有的限价订单缩小了价差，不会有限价订单被配置在市场价格之后，由此产生了一个不切实际的结论。在现在的许多市场里，价差已经认可根据最小化交易规模来规定。
基于趋势的偏离
基础做市模型的一个改进就是考虑趋势和均值回归市场的区别。在一个均值回归市场，价格在一个范围内波动，这减少了逆向选择的风险，并且使得这样的市场环境对做市而言是完美的。然而在趋势市场里， 一个做市商需要在"错误"的市场方向减少限价订单的规模， 给敞口头寸进行套期保值，或者集体退出市场。为了判定市场是否处于趋势中系统可以进行方向性分析，就像在第9 章提到的事件驱动型框架和第11 章讨论的智能预测。
做市作为一种服务
50 多年前做市的关键目标就被正式定义为对证券交易的需求和"可预测的即时性"的供给(见Demsetz ，1968 ) 。其中，可预测的即时性即包含了流动性。
直观地讲，每当流动性水平较低时，增加流动性的服务尤其有用，并且与此相联系的奖金和策略的获利能力格外高。反过来.每当流动性水平格外高时，激进的流动性一消费型订单会释放较高的收益。
多年以来已经产生了许多对流动性的测度方法。其中最流行的是:
● 买卖价差的紧密程度;
● 位于最高买价和最低卖价的市场深度;
● 订单簿的形态;
● 大宗交易的价格敏感'性;
● 订单流的不平衡对价格的敏感性;
● 每单位数量的价格变动;
● 技术支持和阻力位;
● 市场弹性。
买卖价差的紧密程度
买卖价差的紧密程度反映了配置限价订单的交易商之间的竞争程度。竞相提交和执行限价订单的交易商越多，交易商提交的限价订单与市场价格之间就越紧密，以此为结果的买卖价差就会收窄。这种测度是一种简单的流动性测量方法，适用于大部分市场，尤其适用于买卖价差较大的市场，比如大部分美国股票期权。
位于最优买价和最优卖价的市场深度
对许多有价证券而言，买卖价差经常会缩至它们的最小值，并且在大部分市场时间里停留在最小值上。例如，在撰写本书的时候普通的美国股票价差经常是0.01 美元。在这种环境下，买卖价差的紧密程度丧失了度量的效力，与之相关的流动性水平可以使用位于最优买价和最优卖价的市场深度来估算。如果最小的价格变动单位变得较小，最优买价和最优卖价的规模可以被认为是交易商希望位于订单簿首位的限价订单的规模。
订单薄的形态
可获取的Level II 数据可以被用来计算在一个给定的交易场所内，有效的总供给和需求的确切数据。通过使用Level II 数据，供给和需求可以被认为是配置在限价订单簿上卖方和买方各自累计的限价订单的规模。
订单簿的形态也可以用来帮助迅速区分现有的订单簿首位订单的流动性和相对位于底部订单的"落后于市场"的流动性。这种区分对寻找调整算法以在选择的价格点配置订单的做市商来说尤其感兴趣。在订单簿相对底部的位置观察到的高流动性可能代表的是大型投资者的存在。学术研究表明，当存在一个大型投资者时，所有的人工和自动化做市商选择通过在限价订单簿的反向配置激进的限价订单来服务于这个特定的投资者。举例来说， Handa 、Schwartz 和Tiwari(2003) 认为，当订单簿由于大型投资者的存在而不平衡时，订单簿反向的做市商能够发挥更大的市场力量，并且从有众多交易商的投资者获取更优的价格。
限价订单簿也可能包含"遗漏"，即价格的范围在投资者提交限价订单时被遗漏。"遗漏"被Biais 、Hillion 和Spatt(1995) 和其他人经过实证分析所证明，而"遗漏"对交易的影响还没有被彻底研究。
大宗交易的价格敏感性
当Level II 数据不能被获取时，订单簿的形态依然可以使用技术分析的方法，比如用支撑位和阻力位以及移动平均线来估算。举例来说，考虑到支撑位和阻力位方法的广泛性， 很多人工交易员和交易算法选择将限价订单配置在市场的支撑位和阻力位水平;计算支撑位和阻力位有助于精确解析流动性的峰值，而不需要烦琐地处理和解析Level II 信息。Kavajecz 和OddersWhite(2004 ) 最先指出了这一点。
从数学角度来讲， 支撑位和阻力位可以通过最新行情线性预测的支撑最小值和阻力最大值来决定。要决定未来一分钟的支撑位，算法会计算过去一分钟以及再之前一分钟的最低价格，然后预测未来一分钟的最小趋势:
同样地，阻力位可以通过如下等式计算
此外，对支撑位和阻力位而言，基于移动平均线可以判断订单簿的偏态。当一根短期的移动平均线超过一根长期的移动平均线，限价订单簿的买方资金池会移向更靠近市场价格的位置。
Kavajecz 和Odders-White ( 2004 )的推断技术分析在黑市和没有集中订单簿的市场(比如外汇交易)依然会受欢迎，因为技术分析帮助交易商反向处理不可观察的限价订单簿，并部署可获利的流动性供给策略。
订单流的不平衡对价格的敏感性
大宗交易的价格敏感性衡量的是市场价格如何随订单变动。主要的思想是低流动性使得大的市价订单"吃掉"限价订单，大幅度地推动市场价格发生变动。价格敏感性衡量的是净方向型交易数量和由交易规模引致的价格变动之间的关系。敏感性参数在Kyle(1985) 之后被称为Kyle's:
式中，△Pt 表示市场价格从时点t-1到时点t 的变动，该变动由订单的市场冲击所致; NVOLt 表示在时点t 最优买价和最优卖价的规模之间的差异。α 、λ 和εt是构成线性回归方程式( 10-6 )的参数: εt是与每个观测值相关的误差项;α 是回归方程的截距;λ 就是kyle's λ ， 是影响收益的参数，衡量的是价格随净头寸不平衡的敏感程度。λ 越低，价格对大型定向交易的敏感程度就越低，交易场所存在的流动性越高。
每单位数量的价格变动
Aldridge (2012d) 提出了修正的kyle's λ ，如下所示:
式中，△Pt表示在事先确定的时间段t 内观测到的执行交易的价格变动; stb表示在时间段t 内在每笔交易提交生效的时间点上的最优买价上执行的集合交易的数量; Sta表示在交易时间与占主导位置的最优卖价匹配的交易数量。Stb-Sta 可以理解为在t 时间段内所观测到的净订单流绝对不平衡: 在竞价上执行的订单数量可能是由市价卖单产生的，而在询价上完成的交易通常是由于市价买单所导致的。
技术支持和阻力位
每交易单位的绝对价格变动是流动性的另一种测度:
这种来自Amihud (2002 ) 的测度标准，被称为非流动性比率。与Kyle's λ 相似，非流动性比例估算了由于规模变动导致交易的金融工具价格的变动。每单位交易量平均价格变动越小，可用资金的流动性就越大。然而，修正的Kyle's λ 将交易归因于占主导地位的买卖报价，而式( 10-8 )则假定在所有的时间点流动性都是平衡的，且只用来解释每交易单位的绝对价格的变动。
市场弹性
市场弹性是另一种流动性的测量方法，而且衡量了订单簿在一个市价订单发出后恢复至其原有"形状"的速度。关于市场弹性的估算将在本书第15章进行讨论。
有利可图的做市商
为了确保做市商交易是有利可图的，要把握住几个关键的条件。这几个关键的条件，追溯至加曼( 1976 )，涉及了限价订单的到达率、盈利和损失的概率，以及交易工具的价格。
在买单和卖单之间暂时的不平衡，可归因于个人交易商和一个优化自己订单流的交易商之间的不同，这些潜在的不同可能会反映在预算、风险偏好、市场准入以及众多其他特质上。个人交易商对他们自己问题的优化，相比于这些优化差异导致的集合订单的不平衡而言，不那么重要。做市商的目标是最大化收益，同时避免破产或失败。当做市商没有存货或现金时，破产或失败就会出现。买单和卖单都是独立的随机过程。
模型对最优买价和最优卖价解决方案的提出，依赖于对资金的一个单位(例如，1 美元或者是在外汇交易中的1000 万美元) "到达"做市商和"离开"做市商比率的估算;在客户开始进入市场买人证券(付款给交易商)时，资金"到达"做市商; 当客户卖出证券(交易商付款给客户)时，资金"离开"做市商。假定客户在市场卖价Pa 时买入一只有价证券的概率用λ来表示; 相应地，资金从做市商流向客户的概率，或者说一个客户在市场买价凡时向做市商卖出有价证券的概率用λb 来表示。
那么模型的求解就可以建立在对一个被称为"赌徒破产问题"(Gambler's Ruin Problem) 的求解上。在交易商的赌徒破产问题的版本中，一个赌徒或一个交易商，开始有一定的初始财富积累和赌注(持续经营)直到他丧失所有的资金，这种赌徒破产问题的版本被称为无边界问题。有边界问题假定赌徒输光了他所有资金，或者他获得了一定的财富，然后在这个位置退出。
在赌徒破产问题中，赌徒失去他所有资金的概率是
式中，Initial Wealth 是赌徒的初始资金; Pr (Loss) 是赌徒输掉一定数量初始资金(Loss) 的概率; Pr (Gain) 是赌徒获取一定数量资金( Gain) 的概率。
根据赌徒破产问题，我们可以看出输光的概率永远是正的。更进一步来讲，这个等式表明了只要赢钱的概率超过了输钱的概率，最后输光是必然的。换言之，从长期来看，避免失败存在正概率的最低条件是: Pr (Gain) >Pr (Loss) 。
加曼( 1976 )将赌徒破产问题从以下两个方面应用于做市商业务:
1. 如果做市商出现现金短缺，那么做市商就失败了。
2. 如果做市商出现存货短缺且不能满足客户的需求，那么做市商就失败了。
在利用赌徒破产问题构建做市商存货耗尽的模型中，我们假定变量Gain 和Loss 都是基础金融资产的一个单位，也就是说:
Gain=1
Loss=1
以股票为例，那么一个单位可能是一股股票;如果是在外汇交易中，那么一个单位可能是一手。从做市商的角度来看，"损失"一个单位存货的概率就是卖出一个单位存货的概率，并且这个概率等于买方人市的概率λa。根据同样的逻辑，"获利" 一个单位存货的概率就是一个卖方人市的概率λb。那么赌徒破产问题的式( 10-9 )现在就变成
式中， E0(Pa， Pb) 代表一单位库存的初始平均价格; 
代表的是做市商所拥有金融工具的初始数量。
更进一步，将赌徒破产问题应用于研究做市商由于现金短缺而失败的概率。从做市商的角度来看，获取一个单位的资金(比如一美元)，发生在买方入市的时候。正如前文所述，一个买方在市场价格Pa 时愿意入市买入的概率用λa来表示，结果是做市商获取一美元的概率是λa。同样地.做市商"损失"或者在价格为Pb 时支付一美元给卖方的概率是λb。那么，现在赌徒破产问题的模型就变成
对一个做市商来说，要持续经营的首要条件是式( 10-10) 和式( 10-11 )必须同时满足。换言之，下列两个不等式必须同时满足:
λa>λb 且 λaPa>λbPb
对上述两个不等式而言要同时满足，那么下述表达式必须完全为真，即Pa>Pb ， 这就明确界定了买卖价差。买卖价差允许做市商获取现金的同时保持足够的存货头寸。然而，反之并不总成立， 即买卖价差的存在不能保证做市商满足式( 10-11 )的盈利条件。
|总 结|
做市和任何流动性供给都是对市场提供的一项服务，且应该得到补偿。有利可图的自动化做市通过简单的模型仅仅考虑做市商订单簿存货头寸的做法是可行的。当Level II 数据信息量大且令人满意时， Level II数据传递的信息就能够利用简单的方法(比如技术分析)从Level II数据中提取出来。
|章末问题|
1. 什么是做市? 它与流动性供给有何不同?
2. 为什么说做市天生具有盈利性?
3. 做市策略的核心是什么? 常见的扩展形式有哪些?
4. 流动性常见的测度方法有哪些?
5. 做市策略的最低盈利要求是什么?