03 从海岸线悖论到大宗棉花价格

曼德博异常执着地找出巴施里耶-奥斯本模型中的缺陆，并开发出研究问题所必须用到的数学方法.完善每个细节是一个长远的过程。实际上，对数学模型的不断改进是一个永不停歇的动态过程。不过，不可否认的是，曼德博向前迈出了至关重要的一步，大宗棉花的价格更像是喝醉的行刑队员，而不是坎昆的醉汉，曼德博觉得这实在是太有趣了。

佐列姆·芒德勃罗(Szolem Mandelbroit) 是一位非常有代表性的现代数学家。他是一名数学分析理论专家，曾在法国巴黎与一批一流的精英们一起做学术研究，这些人包括埃米尔· 皮卡( Emile Picard )、亨利·勒贝格( Henri Lebesgue )等。佐列姆是20 世纪一群笔名为尼古拉·布尔巴基( Nicolas Bourbaki )的法国数学家团体的创始成员之一。布尔巴基团体将数学研究领域的严谨性和抽象'性推向了顶峰，他们的集合理论为两代数学家的研究奠定了基础。当佐列姆的导师、非常著名的19 世纪末期数学家雅克·阿达马(Jacques Hadamard) 从久负盛名的法兰西学院退休后，佐列姆受聘接替了这个职位。他为人严谨，在工作上兢兢业业。

如果不是他的侄子一刻不停地骚扰他，佐列姆至少可以一直心无旁莺、一丝不苟地做研究。1950 年，在佐列姆的母校巴黎大学攻读博士学位的本华·曼德博( Benoît Mande1brot )做了一个决定，准备追随他杰出的叔叔的脚步，从事数学方面的研究。当佐列姆第一次意识到他的侄子想要致力于数学研究时，心情异常激动。但渐渐地，他开始怀疑曼德博的态度是不是端正。曼德博对当时最前沿的数学问题毫无兴趣。他的研究缺乏严谨性，而恰恰是数学的严谨性为佐列姆带来了巨大的成功。更糟糕的是，曼德博似乎打算采用几何方法。在当时，任何一个有自尊心的数学家都知道，这种导致许多人误入歧途的方法，在一个多世纪前就已经被彻底抛弃了。真正的数学家是不会通过画图来解决问题的!

曼德博的父亲，也就是佐列姆最年长的哥哥，一手将佐列姆抚养成人。他一直资助佐列姆，直到他完成本科学业，否则佐列姆是不会有这样的成就的。因此，对佐列姆来说，曼德博更像是一个兄弟而不是侄子，他觉得自己有义务对曼德博付出足够的耐心，给予相应的支持。但佐列姆对曼德博简直是无计可施，因为曼德博就是不得要领。曼德博的数学天赋不逊于任何人，但是选题时，却显得异常笨拙，简直是无可救药。

一天，当曼德博在办公室谈论他疯狂的毕业论文构想时，佐列姆终于忍不住发飘了。他跑到垃圾桶边上，从里面掏出一张已经扔掉的废纸。佐列姆心想，如果曼德博想在这些垃圾上创作他的毕业论文的话，自己倒是有一大堆，干脆把装满了废纸的垃圾桶送给他得了。"这是给你的，"佐列姆轻蔑地说，"你简直就和它们一样愚蠢! "

佐列姆真心希望自己失态的表现能让他年轻的侄子找回点儿理智，但是事与愿违，他的计划失败了。曼德博在回家的路上手里拿着那篇从垃圾桶里捡出的文章， 一路上认真地研究着。这是一篇关于哈佛大学语言学家乔治·金斯利·齐夫( George Kingsley Zipf) 的一本新书的书评。齐夫是个出了名的怪人，而且很少有人拿他当回事儿。齐夫将自己的整个职业生涯致力于论证一个物理、社会和语言现象中的普遍规律。齐夫定律可以表述为: 如果你为一些自然类别中的所有事物创建一个名单，例如法国的所有城市，或者全世界所有的图书馆，然后把城市按照人口排列，或把图书馆按照藏书数量排列，你会发现，每样东西的规模和它在名单上的排名有关。特别地，名单上排在第二位的规模总是第一位的一半，第三位的规模是第一位的二分之一，以此类推。曼德博阅读的这篇书评着重讨论了这个定律中的一个特别的例子: 齐夫统计了各种各样的文本中不同单词出现的频率。然后他发现，如果把一段文字中的单词按照出现的频率从高到低排列，会发现频率最高的单词出现的频率大约是出现频率第二位的单词的两倍，是出现频率第三位的单词的三倍，以此类推，这个规律同时也适用于这个文档中的其他所有单词。

齐夫的研究正是曼德博的兴趣所在，佐列姆在这点上的判断完全正确。然而佐列姆认为这个研究是一堆垃圾。这个判断是错误的，至少不能说是彻头彻尾的垃圾。齐夫定律是一个估值与数字学的奇特结合体，同时齐夫也是个古怪的家伙。但是，齐夫的书里隐藏着一颗宝石: 齐夫发现了一个公式，用这个公式可以根据一段文字中的单词总数和某个特定的单词在这些单词中出现频率的排序，来计算出它在一本书中出现的次数。很快， 曼德博发现这个公式还有不少尚待完善之处，除此之外，它还有很多意想不到的、非常有趣的数学特征。曼德博不顾来自包括他叔叔在内的数学界泰斗们的巨大阻力，撰写了一篇有关齐夫定律以及它的应用的论文。在没有任何导师指导的情况下，他完成了这篇论文，并且获得了学位。他完全凭借个人努力，通过学校的官方渠道，发表了这篇毕业论文，这是非常不一般的事情。

分形: 曼德博的洞见

曼德博的事业是不同寻常的，不仅是因为他对主流数学界的粗暴抗拒，还因为他标新立异的研究方向。当时，绝大多数数学家研究的仅仅是"平滑的"图形，就是那种你可以用彩色橡皮泥捏出来的形状。而曼德博提出的分形理论( fractal geometry)，研究的却是粗糙和零碎的形状，例如山体表面和玻璃碎片。分形理论，就是他最著名的发现。对分形的研究让曼德博意识到， 在自然界中存在着各种各样的随机性，它们比你不停地投掷一个硬币得到正反面的随机性更加极端，这种随机性对所有的数学类科学(包括金融学)都有影响。

曼德博是一位先驱者。即使在他的论文已发表了几十年之后的今天，他的观点仍然显得十分激进和"抢眼"，以至于不同领域的学者们依旧为此争论不休。这个现象在经济学领域尤为突出，曼德博的核心观点让经济学家们如同哑巴吃黄连。如果他的这些观点是正确的，那就意味着传统经济学家对市场的认识存在根本性的缺陷。然而，这一切依旧无法改变曼德博暗淡的人生和学术前途，因为他永远不屈服于学术压力。他总是觉得自己游离于权威学术圈的边缘: 虽然受人尊重，但这种尊重始终没有达到那种应该到达的高度; 他独树一帜的研究，以及个人的行事风格，备受批判与排斥。但是，在过去的40 年中，当华尔街和科学界遇到了似乎难以逾越的挑战时，曼德博对随机性的洞见就开始显现出先见之明，并且变得日益重要了。

曼德博出生于1924 年，他和立陶宛籍的父母在波兰首都华沙生活。虽然他的父亲是一位商人，但他的两个舅舅，当然还包括佐列姆，都是学者。在曼德博的眼里，他父亲的其他亲戚都是"智者" 。他们虽然没有固定的工作，但是在社区中却有一批追随者，这些人愿意付出金钱或者物资向他们询问建议或者讨教。同时，他的母亲也接受过良好的教育，是个训练有素的内科医生。当曼德博还是个小男孩的时候，他就时常感觉到长辈们对自己赋予了追逐某种学术生涯的期望。他的父亲一直鼓励他选择一种有奖学金的专业，例如工程或者应用数学。

虽然生活在一个非常重视学习的家族，但是年幼的曼德博受到的却是一种非常规的教育。他父母的第一个孩子是个女孩儿，很小的时候就在华沙暴发的一场流行病中不幸夭折。母亲心中从此蒙上了一层阴影，对孩子的疾病产生了深深的恐惧，于是她费尽心思地照顾两个儿子，以免他们重蹈覆辙。因此，她没有把曼德博送进学校，而是聘请了曼德博的两个舅舅中的一位在家里辅导他学习。曼德博这个舅舅，尽管是因为姻亲关系才和这个家族联系在一起的，但他的身上却时刻体现出芒德勃罗家族的标志性烙印:受过良好的教育，没有固定的工作，并且有着常人难以理解的兴趣爱好。曼德博的舅舅庆恶那种循规蹈矩的学习模式，因此，他并不教曼德博学习一些世俗的知识，比如算术和字母表。曼德博在获得沃尔夫物理学奖后做的一次演讲中，坦陈他至今都不太明白乘法，因为他压根儿没有学过九九乘法表。相反，舅舅鼓励他进行创造性思维以及如饥似渴地大量阅读。而曼德博却把大量的时间花在了下国际象棋和看地图上。

20 世纪30 年代，华沙陷入了大萧条，严重程度与西欧和美国相比，有过之而无不及。1931 年，曼德博父亲的服装生意彻底破产了，于是他只身前往法国，希望那里好一些的经济环境能让他在异国他乡赚到钱，以便养家糊口。但是，一直生活在华沙的大家庭把芒德勃罗家族的每一个人和这座城市紧紧地联系在一起。曼德博的父亲盼着有朝一日能返回波兰，重新开创他的服装生意。但是随着20 世纪30 年代的脚步沉重地向前迈进，大萧条继续恶化，波兰变得更加动荡不安，道德危机和政治暴力不断升级。作为犹太人，芒德勃罗家族意识到，华沙已经成为了一个极其危险的地方。曼德博的母亲将一切可以带走的东西都打了包，带领全家追随曼德博的父亲来到巴黎。尽管在当时，这是一个又盯住的决定，但是这次搬家却让芒德勃罗家族幸运地逃过一劫: 第二次世界大战前，波兰生活着300 万犹太人，在大屠杀之后幸存者仅几十万人。

当曼德博的父亲到达巴黎的时候，佐列姆已经开始了巴黎的生活。1919 年，佐列姆和来自社会不同阶层的难民们一起流亡到了法国。在第一次世界大战中，主导波兰数学界的是一个名叫瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基( Waclaw Sierpmski )的年轻、睿智的数学家。谢尔宾斯基研究的是集合理论。他喜欢非常激进的数学风格，并且拥有大到可以对每个华沙本科生的学术成败一锤定音的学术权威。在佐列姆此后的人生中，他所追求的精确性让崇尚几何思维的曼德博觉得无法忍受，但是对佐列姆来说，谢尔宾斯基也同样过于正式。于是佐列姆拒绝研究谢尔宾斯基指定的课题，飞到了巴黎，因为他喜欢那里的数学氛围。有趣的是，谢尔宾斯基同样也是一个早期分形图形例子的发现者，这个几何图形被称为谢尔宾斯基三角( Sierpinski Triangle )。

直到曼德博抵达巴黎的那一天，他才真真切切地和他这位著名的数学家叔叔扯上了关系。曼德博当时年仅十一岁。尽管他们此后走上了完全不同的学术道路，但是他们早年的关系却带着深刻的家族意味。因为曼德博几乎不会说法语，所以落后于同龄孩子整整两个年级。佐列姆为了使曼德博保持对学习的兴趣，激发他的潜能，于是教给他一些数学知识。佐列姆在这段时期的付出对曼德博在日后走上数学研究的道路发挥了不可磨灭的作用。在佐列姆的指导下，尽管身处艰难的经济和政治局势下，曼德博还是找到了一个在新家愉快生活的方式。

不幸的是，好日子很快就到头了。1940 年，德国人侵法国。芒德勃罗家族被迫再次流亡。

海岸线悖论

英国的海岸线到底有多长? 这似乎是个不值一提的问题，派一队经验丰富的勘测员去测量一下就能轻而易举地解决。而事实上，这个问题绝不仅仅像它看起来那样简单。它派生出了一个难解之谜，也被称作海岸线悖论( coastline paradox)。如果你要测量海岸线的长度，就需要采用一些测量方法，你可能需要选择一把合适的量尺。其实，这个问题的答案取决于你测量时所使用的尺子。假设你用一把巨大的尺子从苏格兰最北端的愤怒角( Cape Wrath )一直丈量到康沃尔郡(Comwall )西南部的彭赞斯( Penzance )，这样你就能得到海岸线长度的一个估计值。

但这并不是个好方法，因为海岸线不可能是一条直线。英国的海岸线，在布里斯托海峡( Bristol Channel )和爱尔兰海(Irish Sea) 被浸泡在海水中，而在威尔士附近又延伸了出来，因此，用一把很长的尺子并不能准确地量出海岸线的长度。为了更准确地测量，你需要换一把短一些的尺子，以方便地量出各种半岛和海湾部分多出来的长度。你可以试着从彭赞斯到布里斯托的距离，再加上从布里斯托到威尔士的圣戴维斯( St.David ' s )的距离，然后加上圣戴维斯到威尔士最北端的卡梅尔角(Carmel Head) ，以此类推，沿着海岸线把一段一段的距离加上去。最后你得到的距离会比你之前计算出的长出许多，但却更加精确了。

现在，我们可以看到这样的一个结果。使用这把短一些的尺子，我们可以发现用原来那把长一些的尺子所得到的结果低估了海岸线的长度。但是即使用这根短一些的尺子，我们依旧漏掉了卡迪根湾( Cardigan Bay )，更不用说还有许许多多小港湾以及康沃尔郡和威尔士沿岸的水湾了。为了把这些能增加许多距离的地貌都测量进去，你依旧需要找一把更短的尺子。但是同样的问题又出现了，你依旧漏掉了一些水湾。事实上，无论你用哪种长度的尺子，你所得到的答案永远比实际距离少很多。换句话说，你用越小的尺子来进行测量，就能得到越大的答案。

这就是这个悖论的核心。通常情况下，你选择的测量工具越精确，得到的测量结果就越准确。你可以把你的手指放进一壶热水里估计水的温度。一支酒精温度计可以给出更准确的答案，而一支高科技的数字温度计的测量结果甚至可以精确到一度以内的单位。我们通常认为不精确的测量工具会增加测量误差，而当你使用的设备越来越先进的时候，得到的测量结果也就越接近真实情况。但是，对于测量海岸线的长度来说，无论你使用多么精确的设备，也就是说，无论你使用多么小的尺子，你所得到的长度永远都太小。从某种意义上来说，海岸线有多长这个问题根本就没有准确的答案，或者说，至少无法用像测量一条线段或者圆形等简单图形那样的方法量出海岸线的长度。

1967 年，曼德博在一篇具有开创意义的论文中提出了海岸线悖论。这是他对分形进行描述的早期探索之一，事实上，海岸线就是一种分形，尽管曼德博直到1975 年才对此下了定义。从数学研究的角度来说，海岸线(以及其他的分形)具有重要意义，因为它们具有一种叫作自相似性( self-sirnilarity )的特性。如果说某个东西是自相似的，也就是说，它是由和整体一模一样的小的部分组成的图形; 而这些小的部分又是由更小的和整体一模一样的部分组成的，然后这些更小的部分可以不断细分到无穷小。如果你先将整个英国西部的海岸线分成一些小段，你会发现这些小段本身看起来就像是一条海岸线; 就和整个海岸线一样，这些海岸线的小型延伸段也有它们自己的小水湾和半岛。如果你将其中一小段海岸线继续细分下去，这些更小的片段会呈现出所有较大的片段所具有的特征。

一旦你开始关注自相似性，你很快就会意识到它是自然界普遍存在的一种现象。一个山顶看起来就像是一座山的缩影; 一根树枝看起来就像是一棵小树，也有自己更小的校丫; 一个水系是由许许多多的河流和河口组成的。这个原理甚至可以延伸到社会领域。就像后来曼德博指出的那样，一场战役是由一些小动荡引起的，而一场战争是由一连串的战役所组成的，每一场战役都是这场战争的缩影。

当第二次世界大战爆发的时候，芒德勃罗家族逃离了巴黎，他们觉得巴黎将会陷入战火纷飞中，于是搬到了蒂勒(Tulle )，这个城市属于法国的科雷兹省( Correze)。这次搬家再一次显示出了芒德勃罗家族的先见之明，他们真是太走运了。1939 年末，他们离开巴黎，距离纳粹侵略法国仅仅早了几个月。事后看来，搬到蒂勒确实是个极其明智的选择，它的地理位置足够靠南，不久之后它成了没有被侵占的法兰西国土，也就是维希政府的一部分。

尽管维希政府和德国达成合作，但是反犹太主义情绪在法国南部地区没有像在德国占领区那样恶劣。至少在蒂勒的几年时间里，曼德博能够每天去学校上学。那时，他已经能说一口流利的法语了，也顺利地升人高年级。1942 年德国占领法国南部的时候，曼德博已经赶上了他的同龄人。但芒德勃罗家族依旧提心吊胆地过日子，为有可能被驱逐而担惊受怕。1940 年，维希政府开始对1927 年之后进入法国的移民进行身份审查。他们剥夺了1.5 万人(其中大多数是犹太人)的公民身份，开启了将移民送人德国集中营的先河。尽管芒德勃罗家族在小城市蒂勒成功逃过了审查，但威胁的阴瘟却始终笼罩在这座城市的上空。

1942 年，事态进一步恶化。11 月8 日，英国和美国军队攻人法国占领的北非地区。作为回应，德国人占领了法国南部，企图在欧洲大陆发动一场大屠杀。此时，盖世太保来到了德国纳粹军队，法国南部已经成为德国军队的中间补给地，即使原本安全的蒂勒也变成了一个小型战场。虽然蒂勒仅有几千人居住，却一直是这个地区的省会城市。随着德国人越来越频繁地出现在法国南部，无论对苟延残喘的维希政府还是对反抗组织的领袖们来说，蒂勒俨然成为兵家必争的军事要塞。芒德勃罗家族再也无法隐藏在这个不起眼的小城市中了。

曼德博在自传和采访中经常提到战争对他的教育造成的影响。1942 年，曼德博从中学毕业，他发现自己已经与"大学校"失之交臂，因为搬家是如此的司空见惯。但是，曼德博从来没有透露过这段时期所经历的任何细节，只是说他毕业之后的那一年半"非常非常艰难"，而且，"数次与死神擦肩而过" 。

因为继续上学已经不可能了，且他必须保持低调，所以他只好频繁地搬家，而且还要避免路过城市。他和反抗组织一起生活，他们接纳了他，并且想办法帮他东躲西藏。他做过一系列稀奇古怪的工作，并试图把自己乔装成一个法国乡下人。他做了几个月的马匹饲养员，然后作为学徒，做了法国铁路的机械制造师。但他从来没有成为过一个令人信服的生意人。离开学校之后，曼德博整天和仅能找到的几本书形影不离，他把这些书带在身上，只要有机会就掏出来看，这对一个整天穿梭在马棚里的人来说，显然不是一个明智的选择。

至少从某种程度上说，曼德博战战兢兢地躲过了被驱逐的命运，否则，他面对的可能是被处决了。曼德博基本上从没和德国的武装力量发生过冲突，而他的父亲却没有那么幸运，确确实实到阎王殿走了一遭。就像曼德博日后所叙述的一样，他的父亲在这段时期被逮捕，并被送到附近的集中营。不久之后，这座集中营遭到反抗组织成员袭击。狱警当场毙命，反抗组织的战士们催促犯人们赶紧逃跑，免得被德国援军再次俘虏。

这些囚犯既没有计划又不知道安全的逃跑路线，他们一队人开始往最近的利摩日(Limoges) 小镇逃去。离开集中营后不久，曼德博的父亲意识到这是一个非常糟糕的主意:他们一大队人一起在一片开阔的路面上行进，这样一来跟踪他们是很容易的。曼德博的父亲费尽口舌却无法说动其他人，因此他离开大部队，踏上一条独自逃亡的路。他逃往附近的一片森林，打算慢慢地返回他被抓前芒德勃罗家族藏身的地方。当他在荒郊野外行进的时候，听到了一个令人毛骨悚然的声音: 在他后面的大路上，一架德国轰炸机发现了其他的囚犯。

狂放随机

战争期间的的生活是无法预料的。罗格· 麦克西科是托马斯·品钦( Thomas Pynchon )的小说《万有引力之虹》 ( Gravity Rainbow ) 中的一个人物，他是一名统计学家，他的工作是在第三帝同存在的最后一段日子里负责追踪V-2 火箭在伦敦的坠落地点。他发现火箭的降落遵循一个特定的统计分布，如果火箭落在城市的任何一个角落的概率相同，那么你就可以预期这个分布将会如何出现。麦克西科的周围满眼都是在火箭诡异的运行轨迹之下根本无法主宰自己的命运的人。作为旁观者，麦克西科的图表暗示了某些潜在的轨迹，那些无法掌控自己命运的人可以根据这些轨迹来预测下一个火箭将落在什么地方。

城市的某些地方经常被火箭袭击，而另外的一些地方却几乎不会被击中。如果假定这些信息能明确告诉我们下一个火箭将落在哪里，那么就会和那些坚信某个数字一定会出现的大乐透玩家们一样，得出来的是一个谬论。麦克西科深谙其中之理。但他同时发现了这些数据是如此引人关注，似乎火箭的威力就来自随机的数据。至少如果你一不小心站在了下一个火箭坠落的地方，那么结果可想而知。

然而，从数学的角度来说，这些随机性都是温和的。V-2 火箭每隔几天就会系统自动点火，朝大致伦敦的方向发射。计算出多少火箭会落到圣保罗大教堂，多少火箭会落到西格哈默斯密斯酒店几乎就像计算一个大乐透球多少次会落到红色25 的地方一样。事实上，我们所能想到的很多有关随机性的情况都是如此。所以，许多人很容易陷入这样的观点，认为所有的随机性事件都和技掷硬币或者简单的赌场游戏是一样的。

很多现代金融理论都是建立在这个假设之上的。我们回过头来看看巴施里耶设想股票价格将如何变动这个例子，他假设股票价格的走势遵循随机游走模式。每一小段时间，股票价格都会上涨或者下跌一些，这就像上帝在手中抛掷一个硬币一样。巴施里耶发现，如果随机游走模型可以用来模拟真实市场所发生的事情，那么股票的价格分布将会是一个正态分布，呈现出一条钟形曲线。当然，奥斯本指出这并不正确，实际上，当上帝每一次抛起硬币的时候，价格是以固定的百分比变化，而不是以固定的金额变化的。这个修正推导出这样的观测结果: 收益率呈正态分布，而价格呈对数正态分布。

正态分布在自然界中普遍存在。如果你将世界上某个地方的男人的身高的数值排列起来绘制成一张图，你将会得到一个正态分布。如果你拿来1000 支温度计，分别用它们来测量气温，得到的测量结果看起来也是一个正态分布。如果你玩抛硬币的游戏，每一次你抛出了正面就能得到一美元，而抛出了背面你就损失一美元，你玩，了许多次之后所获得收益的概率也服从正态分布。正态分布非常实用，它很容易理解，也很容易运用。如果某个事物服从正态分布，并且你的样本空间足够大，那么这个样本的平均值就会趋近于一个固定的数字。例如白种男人的平均身高是1.75 米; 除非发烧，1000 个人的平均体温将是37°C 。你玩抛硬币游戏得到的平均收益则趋近于零。

这个规则可以被看作是概率分布的大数定律， 一个将伯努利定律进行一般化的定律，它把事件在长期中发生的频率和概率联系起来。它可以表述为:如果某个事件服从特定的概率分布，例如男人的身高服从正态分布，那么只要有一个足够大的样本，新样本的加入就不会对平均值造成太大的影响。一旦你已经测量了世界上某个地区大量的男人的身高，再多量一个人的身高并不会使平均身高的数值发生很大变化。

然而，大数定律并不适用于所有的概率分布。坎昆的醉汉符合这一规律。他东摇西摆最后走向的位置平均来说将是在开始行走的位置，因为他是随机游走的。就像在抛硬币游戏中，平均收益会趋向于零。但是假设另外一种情况:如果有一队喝醉的行刑队员，他们每个人都站立着，手里拿着来复枪，面对着墙。为了讨论方便，假设这堵墙是无限长的。就像醉汉走路一样，这队行刑队中的醉汉可能向任何一个方向蹒跚而行。当每个人站定准备射击的时候，他可能朝任何一个方向瞄准。子弹可能直接打中他面前的墙任何一个位置，也可能击中他右边100 米处的墙。或者他可能完全偏离了目标射向了相反的方向，完全没有射到墙面。

设想一个小组参加打靶比赛，射击数千次。如果你记录下每一颗子弹射中的位直(请注意:只记录中靶的子弹)，你可以用这些信息创建一个分布，这个分布描绘了任何一颗子弹将会集中墙面的位直的概率。当你将这个分布和之前简单的分布比较时，你会发现它是全然不同的。这些醉醺醺的行刑队队员射出的子弹大部分都会击中墙面的中部。实际上，子弹射中墙面中部的次数要比正态分布所预测的会多很多。而且，子弹没有射中墙面的次数比正态分布预测的也多很多。

这个分布叫作柯西分布( Cauchy distribution )。因为柯西分布的左侧和右侧不会像正态分布那样快速地趋向于零(因为子弹经常会射击到墙面上较远的部分)，所以我们说它有一个"肥尾" (见图3-1 )。

柯西分布最主要的特征是它并不服从大数定律:喝醉的行刑队员射击出的子弹打中的位置永远不会趋向于一个固定的数字。如果行刑队射击1000 次，你可以记录每颗子弹击中的位置，然后计算出一个平均值，就像你可以在玩投硬币游戏中计算出你的盈利的平均值一样。但是这个平均值是非常不稳定的。行刑队中的一名队员完全可能在下-次射击之前突然转身，以至于子弹的飞行方向几乎和墙面平行。它可能飞行几百公里(假设这是一些威力巨大的枪支)，飞得足够远，实际上，如果当你将这个最新的结果加到之前的结果上，得到的平均值将和之前得到的平均值完全不同。由于这个分布存在肥尾，所以喝醉的行刑队员射出的子弹击中的位置从长期来看也是无法预测的。

就像曼德博所描述的那样，尤其是在维希政府统治的刚开始的两年中，战争在一段较长的时期内并没有影响到法国的大部分地区。但是不久之后，战火蔓延开来，造成了严重的破坏，然后又是一段时间的平静。因此，曼德博被这些"突然的暴动"所吸引，被这些绝不是平淡的赌场游戏的随机过程所吸引。他把这些服从柯西分布的事件称为"狂放随机" (wildly random )，目的是把它们和普通的温和的随机游走区别开来。曼德博投入了大量的精力来研究这些。当曼德博开始迈人职业生涯的时候，大多数统计学家认为这个世界充满了正态分布的事件，尽管柯西分布和其他"肥尾"分布偶尔也会出现，但是它们都是一些特例。曼德博却列举出了许许多多这样的特例，并且他列举出的特例的数量多于任何一个人。

让我们再回头来讨论一下英国海岸线长度的问题。假设你想测量出一个海角或者任何一块陆地上凸起的长度。你必须先从可以测量的东西开始动手，比如岩石和防波堤。你将所有这些东西的长度取平均值。你还没有大功告成，因为你发现这些岩石和凸起本身也是半岛的一部分。因此你再次拿出测量工具，开始测量起这些半岛的长度。它们的数量不是很多，但是比你已经测量过的岩石和防波堤大得多，并且你现在得到了一个比第一轮测量所得出的结果大得多的新平均值。更有甚者，你还没有考虑到更大的结构，比如康沃尔郡。或者说，你没有考虑到整个英国的西海岸，因为从地理的角度来说，它就是欧亚大陆的凸起部分。同时当你看到这个的时候，也要考虑到一些细小一些的结构。为什么把几十厘米长的岩石计算进去了，却没有把几厘米长的岩石也计算进去呢?

每一次你测量的范围越大，你获得的平均值的变化就越显著。你似乎无法把范围缩小到一个简单的数字。令那些在做元用功的勘测员感到沮丧的是，海岸线上的任何一样东西的平均长度都没有一个期望值。分形具有一个来自于它们的自相似性的-般性特征。一方面，它们排列得非常完美并且规则;另一方面，它们带有狂放的随机性。如果像曼德博认为的那样，分形无处不在，那么这个世界将被极端所支配，我们对平均值和常态的认识只会使我们迷失方向。

非凡的几何直觉

尽管曼德博从没有提到过任何细节，但他经常顺带提起1943 年底那段特别悲惨的经历，当时他正和法国的反抗组织躲藏在一起。后来，反抗组织意识到曼德博不能再留在蒂勒了，于是他们将他弄到一个安全的地方，让他以一个预科学校研究生的身份留在里昂(Lyon)。

转移曼德博是一个异常危险的举动。无论对犹太人还是反对派支持者来说，里昂元疑都是法国南部最危险的城市之一。曼德博恰巧同时属于这两种人。当时德军党卫军军官尼古拉斯·巴比(Nikolaus Barbie )在城市中央的一个旅馆里指挥着当地的盖世太保。他被称为"里昂屠夫"，后来在里昂法庭因战争罪行受到审判，罪行是迫害将近1000 名在这个地区生活的犹太人。曼德博怎么看也不像是一个乡村短工，照顾他的反抗组织成员不得不找个不那么引人注目的地方安置他。于是找一所学校便成了一个折中的选择:曼德博正处于合适的年纪，并且爱将自己打扮得像个学者。他以一个伪造的身份去上学，并且住进了学校的宿舍。虽然已经做了充分的伪装，但曼德博还是不敢离开学校半步。他是一个学生，同时也是一个囚犯。

为了掩人耳目，曼德博坐在教室里老老实实地上课，但是没有人认为他能学进去多少。这所学校的办学宗旨是培养最聪明的学生，使他们能够通过难度系数非常高的"大学校"的入学考试。学校里的气氛总是充满竞争而且快节奏的。曼德博从1942 年春天开始一直到1944 年初都没有再迈进过学校一步，因此人学之后他再一次远远地落在了同龄人的后面。面对这些聪慧过人、而且遥遥领先于他的同学们，曼德博似乎永远无法赶上他们的步伐。

最初，事情的发展与预期基本一样。曼德博在教室里安安静静地坐着，假装是个安分守己的学生。其实，他什么也听不懂。就这样，时间一周又一周地过去了。每一次当老师给出一些抽象代数的题目，要求学生们比赛谁能用最快的速度解出答案的时候，曼德博都不声不响地昕着。他对课堂上发生的一切依旧没有头绪， 他能够猜出老师出的那些题目问的是什么，却完全不知道从何处下手去解答，更不用说讨论一道题有几种不同的解法了，那种要求简直搞得他一头雾水。然而，不久后一件值得纪念的事情发生了。有一天，当老师给全班出了一个题目的时候，曼德博的脑子里突然闪现出一个图形。他连想都没想就举起了手。老师惊讶地请他回答。"这个问题是不是相当于问这两个平面是不是相交的? "曼德博问道，他同时描述了他想到的那两个图形的样子。老师同意这个问题也可以这样表述，但是提醒曼德博他们的目标是快速解出这道题，而不是用几何方法来解释这些问题。

曼德博坐回到他的位置上，被这通指责"噎"住了。但是当老师念出下一道题目的时候，他又忍不住想到了空间图形。他一下子就能想出这个问题所涉及的是哪种图形。很快，他发现自己可以胸有成竹地做到这些。事实证明，曼德博拥有一个"特异功能" ，能把抽象的代数问题视觉化。但是老师提醒他，仅仅靠用几何的方法来解释问题对他的考试毫无帮助。于是，曼德博开始思考如何将他的这个特异功能付诸实践。他不能仅仅凭借几何直觉来解决问题，至少这不是老师要求的方法。但是他可以迅速猜出答案是什么，并且他总是能够猜对。不久之后，虽然曼德博的应试准备并不充分，而且有着不同寻常的身份，但他还是融入了这所学校。

1944 年夏天，戴高乐宣布法国解放。8 月底，芒德勃罗家族举家搬回了巴黎。尽管曼德博在里昂只待了6 个月，也就是一个学期，但是这段经历却改变了他的人生道路。在这段时间里，他学习了大量的知识，发现了自己的几何天赋，更重要的是，他重新拾起了学业。他决定继续准备"大学校"的入学考试，并且在1944 年进入巴黎一所最权威的预科学校。在取得优异的考试成绩之后，他收到了好几所"大学校"的人学通知书，其中包括最有竞争力的巴黎高等师范学院。

曼德博选择进入巴黎高等师范学院，但仅仅两天之后，因为发现自己无法忍受象牙塔中的生活而放弃了。离开学校的这段时间，让他更关注现实生活中的问题。曼德博马上就转到了更加注重应用性和科学性的巴黎综合理工学院。这个选择预示着曼德博之后的学术道路:每一次，当必须在纯学术和实用主义之间二者选一的时候，曼德博总会选择后者。这样一来，曼德博将他的几何"特异功能"用到了以前被忽视的实用性问题以及那些似乎难以破解的问题上。就像巴施里耶一样，曼德博以他过人的数学天赋提出了许多前人尚未发现的问题，同时，他找到的答案足以改变科学家们看待世界的角度。

棉花市场，菜维稳定分布的证据

多年之后，曼德博将他事业上的巨大成功归功于两件事。第一件就是不同寻常、时断时续的学业。曼德博最后读完了"大学校"，然后又取得了博士学位，但是这并不是一段轻松自在的旅途。而正是因为他没有走一条循规蹈矩的路，他才被历练成了一个更加睿智和独立的人。第二件就是一连串不经意的发现。这些发现引领着他拨开重重迷雾，逐渐看到了一个又一个智力谜团。齐夫的公式就是其中一个，这还是当他的叔叔将那篇文献综述扔到他脸上的时候发现的。另一个出现在几年之后，就是在他刚刚完成研究生学业不久的时候。

那时，曼德博在IBM 工作，IBM 也是一家深深受益于物理科学工业化的企业。尽管曼德博常常表露出对自己在没有导师的情况下顺利完成学业的自豪感，但这件事在找工作的时候并没有对他带来任何帮助。他在普林斯顿高等研究院度过了一段清贫的博士后生活，然后他又回到欧洲，在法国政府的热力学研究中心工作了一段时间。但是由于得到一个全职正式员工的职位看起来是一件八字没一撇的事儿，曼德博对于在数学界施展拳脚的幻灭感开始与日俱增。1958 年，曼德博终于收到IBM 的邀请信， IBM 向他提供了一个研究部门科技人员的职位。他当即蹦了起来，虽然用他自己的话来说，"那时候收到一份IDM 的工作邀请并不是什么了不起的事儿" 。

IDM 研究中心的工作目标之一就是为它最新的电脑拓展出一些应用领域。曼德博的工作是处理经济学方面的数据。他的老板希望他能够展示电脑在经济学领域的实用性，以便让银行和大型投资公司心甘情愿地为IDM 的大型机埋单。具体来说，曼德博处理的是能描述整个社会收入分布的数据。银行并不一定会对这个特定的问题特别感兴趣;相反，这项工作的目的是将曼德博的研究作为一种概念性的证据，以证明计算机在处理需要大量数学运算的金融数据时是多么的高效。

收入分布以前就被学者们研究过，其中最著名的要属意大利工程师、实业家、经济学家维弗雷多·帕累托(Vilfredo Pareto )。作为一个自由放任主义经济学的忠实信徒，帕累托深深地痴迷于自由市场和资本积累的研究。他想要搞清楚的是:人们是如何变得富有的，谁控制了财富，资源是怎样被市场的力量支配的。为了达到这个目的，他搜集了大量关于财富和收入的数据，这些数据来源广泛，包括了整个欧洲的房地产交易和个人收入数据以及税收的历史记录。帕累托精心绘制了详尽的图表来分析这些数据，把收入水平和财富绘制在一根坐标轴上，把相对应的人数绘制在另一根坐标轴上。

帕累托发现他搜集到的数据都反复出现一个简单的规律。他描述到，在任何一个国家、任何一个地区，80% 的财富掌握在20% 的人手中。这个规律如今被叫作帕累托定律(Pareto' s Principle )，有时也被称为80~20 法则( 80~20rule)。当时，帕累托对此给出的解释和齐夫使用的解释方法如出一辙。帕累托认为，"社会法则"表明财富不是随机分布的，而是被一些神秘的、能左右市场和社会的力量所支配的。当帕累托使用这个定律时，他发现它几乎可以运用到所有的事情上。一个公司80% 的销售额来自仅仅20% 的客户。20% 的罪犯引发了80% 的犯罪事件，现实中还有许多这样的例子。直到现在，帕累托定律在许多场合也都近似成立。

在曼德博看来，帕累托的研究中最有趣的并不是帕累托搜集的数据揭示了社会的数学法则，而是整个国家的收入分布和这个国家中一小部分人的收入分布之间的特定关系。帕累托认为， 80~20 法则至少近似地对整个国家来说都是成立的。但是如果你问一个略微有些差别的问题:控制着绝大多数财富的20% 的人口的收入分布是怎样的呢? 引人注目的是，同样的规律又出现了。如果你只看一个国家中最富有的那部分人，你会发现他们拥有的财富中的80% 也掌握在20% 的人手里。这些特别富有的人几乎和之前的那些富有的人一样控制着和他们的数量不成比例的财富。实际上，这种规律会一直持续下去。掌握在特别富有的人手中的财富的80% 被那些超级富豪所占有，以此类推。

你现在应该觉得这个规律是多么的眼熟了吧。一个国家的财富分布显示出一种自相似性，或者说一种分形形态。事实上， 帕累托发现的这个分布叫作帕累托分布，它也是一种肥尾分布，显示了收人分布的一种狂放的随机性，虽然这种随机性的狂放程度远远不及喝醉的行刑队员射击的随机性那样高。当曼德博处理IDM 的数据时，他还没有创造出分形的概念。他对海岸线悖论的开创性研究也是将近10 年之后的事情。和帕累托的研究一样，还有一件早在半个世纪前和这种规律有关的事使曼德博备感震惊，那就是齐夫的研究，齐夫发现了一个古怪的有关单词频率分布问题的向相似性，曼德博还基于齐夫的研究完成了博士论文。

尽管曼德博已经远离学术界，但是他为IDM 所做的、有关财富分布的研究还是引起了主流经济学家们的兴趣，因此他偶尔会被邀请做学术汇报。1961年，正当他要开始一个讲座之前，他获得了他的第二个"不经意"的发现。

这次演讲的地点是哈佛大学经济系。在演讲将按计划开始之前，曼德博遇见了一位教授，一位叫亨得里克· 霍撒克(Hendrik Houthakker )的经济学家。当他走进霍撒克的办公室时，他注意到黑板上画着的一幅图。这幅图和他打算在演讲中使用的一幅图几乎一模一样。曼德博的图是对收入分布和帕累托定律进行讨论的一部分。曼德博猜想霍撒克应该也在研究一个相似的问题，于是对他们共同的兴趣做了几句评价。没想到霍撒克却只是茫然地看了他一眼。

经过一两次艰难的沟通，曼德博意识到有些地方不对劲。他折回去，指着黑板上的图问道"难道这不是一幅描述财富分布的图吗? "霍撒克昕了感到十分困惑，他解释说他的黑板上画的这张图是一天前和一个研究生会面留下的，当时他们讨论了棉花的历史价格。这幅图是棉花市场的每日收益图。

霍撒克继续解释道，他已经对棉花市场进行了一段时间的研究，但是手头的数据并不支持理论。那个年代，巴施里耶的研究又再次得到了重视，经济学家们开始接受市场遵循随机游走的观点，就和巴施里耶和奥斯本论证过的样。霍撒克对通过观察历史数据来验证这个假设非常有兴趣。如果随机游走理论是正确的，那么你会看到棉花价格在一天、一星期，或者一个月中有许许多多小的变化，但是应该几乎没有大的变化。然而，霍撒克的数据显示的并不像理论所预测的那样:他不仅看到了很多的小变化，而且看到了很多大的变化。更糟糕的是，他几乎无法得出一个像巴施里耶理论所预测的必定存在的价格变化的平均值。每一次当霍撒克观察新的一组数据时，平均值都会变化，而且非常显著。换句话说，棉花的价格更像是喝醉的行刑队员，而不是坎昆的醉汉。

曼德博简直被这些东西迷住了。他问霍撒克可不可以让他仔细看一眼这些数据，霍撒克毫不犹豫地答应了。霍撒克告诉曼德博，其实他可以拿走所有的数据，因为他自己已经准备放弃这个项目了。

回到IBM，曼德博有一个程序员组成的小团队，他们对霍撒克搜集的所有关于棉花价格的数据进行了处理，详细分析了里面的每个细节。他们很快证实了霍撒克找到的最令人费解的发现: 回报率的平均值并不存在。价格看起来好像在随机游走，但是它们并不能被标准的统计工具或者巴施里耶和奥斯本的理论所解释，这其中一定发生了奇怪的事。

曼德博之前就看见过一些不同寻常的分布。除了研究齐夫和巴施里耶的理论，他对另一种分布也非常熟悉，这个分布是他在巴黎的一位教授保罗·莱维发现的。莱维阅读了巴施里耶的论文中一个小章节之后，得出一个结论，他认为巴施里耶的研究存在错误。后来，莱维发现其实是他自己弄错了，于是向巴施里耶表示了歉意。莱维回过头来研究巴施里耶理论的一部分原因是他对随机游走过程和概率分布重新产生了兴趣。遗憾的是，莱维后期的这个研究得到的关注远远少于他早年的研究，他在职业生涯的末期也几乎被人遗忘了。

为了研究随机过程，莱维研究了一些类别的概率分布，这个分布现在叫作莱维稳定分布( Lévy-stable distribution )。正态分布和柯西分布都是莱维稳定分布的例子，但是莱维稳定分布显示了随机性有一个范围，这个范围在前面所提到的两个分布之间变化。事实上，还有其他比柯西分布的随机性更加狂放的随机事件存在。狂放程度可以用一个数字来表示，它代表了莱维稳定分布的尾部，我们通常用α 表示(见图3-2 )。正态分布的α 值为2 ，柯西分布的α 值为1 。这个数值越小，随机过程的狂放程度就越高，同时肥尾也就越大。α 值小于等于1 的分布不服从大数定律一一实际上，想要找到狂放程度如此之高的数组的平均值也是不可能的。同时，α 值在1 和2 之间的分布有平均值，但是没有一个界定清晰的平均变化值(统计学家把它叫作波动幅度或者方差)，这表明计算经验数据的平均值是十分困难的，即使是当平均值存在的时候。

作为一名经济学家的霍撒克对莱维晚年的研究知之甚少，但是曼德博却早已经是莱维的信徒了。因此当他看到从霍撒克那里拿来的数据的时候，事情就豁然开朗了。棉花价格并不服从正态分布一一同样，它也不服从柯西分布，在这一点上霍撒克是正确的。它的α 值为1.7，正处于1和2 之间。棉花的价格是随机的，但是比巴施里耶和奥斯本能够想到的要狂放得多。

棉花市场是曼德博找到莱维稳定分布的证据的第一个地方。他觉得很奇怪，既然棉花价格的变化非常大，为什么其他市场不会这样呢? 曼德博立即动手收集各种各样的市场上的数据: 其他的商品市场(例如黄金和石油)、股票、债券等。他发现了每一个案例都有一个共同之处: 这些市场的α 都小于2，而且经常显著小于2 。这意味着巴施里耶和奥斯本的关于随机游走的理论和正态分布存在一个很大的问题。

华尔街的抉择

1960 年，也就是奥斯本的第一篇论文发表后的第二年，曼德博找到了帕累托分布和莱维稳定分布之间的联系。1963 年，他发表了论文，将这个结论推广到棉花价格的研究中。直到很多年之后，麻省理工学院的经济学家库特勒才把曼德博阐述他的替代理论的文章收录进一套论文集。库特勒编辑的这套论文集包括了巴施里耶和奥斯本的研究。这表明这卷将巴施里耶和奥斯本的研究推广给更多的经济学家和理论金融学家的书籍已经暗示了简单的随机游走模型并不是完善的。1965 年左右，理论金融家们面临了一个抉择，当然当时他们绝对没有意识到这点。他们的选择是，他们可以追随奥斯本和其他认为传统的统计方法可以用来分析和模拟股票市场收益的学者，这些学者使用的方法很大程度上建立在物理学的基础之上; 他们也可以追随曼德博，曼德博认为虽然传统方法有强大的功能，但我们依旧有理由认为那些方法有不足之处。传统方法的优势在于这种比较旧的方法更加容易理解，也更简单。同时，曼德博也掌握了很多表明他的方法更合理的数据。

学术界最终选择了奥斯本。库特勒在1962 年的世界计量经济学会上用这段话反驳了曼德博对棉花价格的研究:

曼德博和丘吉尔首相一样，他告诉我们没有乌托邦，一切都是流血、汗水和眼泪。如果曼德博是正确的，那么几乎所有我们现在在使用的统计工具都应该被摒弃……我们前辈们的劳动成果无一例外地都没有任何意义。当然，在把几个世纪以来的研究统统扔进垃圾堆之前，我们必须反复确认我们所有的研究是不是真的毫无意义。

大多数学者也持有相同的观点。此时，虽然温和的随机游走理论还不成熟，但是越来越多的研究者，也包括库特勒在内，已经把自己的事业的筹码押在了这个理论上。显而易见的是，库特勒那带有反对意味的评论所带有的实际目的是想要避开一个年轻的学者，这个年轻人不久前发现了一些研究上的错误。能够肯定的是，曼德博是这样认为的。而事实上，许多实践工作者和理论学家已经意识到了肥尾分布的重要性。他们当中最著名的是《黑天鹅》的作者塔勒布，他是一位对冲基金经理，同时也是纽约大学理工学院的一位教授。他和曼德博认为金融界在1965 年做了一个错误的选择，理论界继续假设随机性是温和的，而事实上金融市场是狂放的。

然而这个观点忽略了一个很重妥的问题，即金融科学是怎样发展起来的。20 世纪60 年代，传统的统计学是一个拥有大量研究工具的成熟学科。曼德博仅仅向前迈了一小步，提出了一些建议和几张图。在此期间，如果不使用传统的统计工具，根本就不可能取得奥斯本、萨缪尔森和其他在金融学和经济学领域工作的学者所取得的成果。曼德博的理论不够简单易懂。这就好比你告诉一个木匠螺丝钉比钉子更加牢固，但是这个木匠手里仅有一把锤子，当时螺丝刀还没有被发明出来。即使如果用螺丝钉，房子会造得更加坚固，至少在一段时间里你还是得用锤子和钉子。

因为这个原因，当曼德博和他的支持者在攻克有关分形和自相似性的难题时，如果想要取得进展，使用更加简化的工具将是一个合情合理的选择。科学领域有一条不成文的规定:你要用最简单的理论开始研究，将这条理论用到极致，然后回过头去思考你创建的这个理论的问题所在。在这种情况下，一旦你确定股票市场的价格是随机的(至少在某种程度上)，下一步就是用最简单的方法假设它们是随机的:它们确实服从随机游走模型。巴施里耶就是这样做的。后来奥斯本指出这样做是不正确的，因为这意味着股票的价格会成为负数，因此他将模型稍微修改得复杂了一些，假设市场的回报率服从随机游走模型。然后他证明了这个理论比巴施里耶的模型更好地解释了数据。

接着曼德博出现了，他认为奥斯本的理论同样也不完全正确。如果你仔细观察价格数据，你会发现它们所呈现出的规律并不是奥斯本认为自己已经发现的那个规律，尽管差别不是特别显著。曼德博所发现的规律并不能说明价格不是随机的，只是价格的这种随机性和奥斯本认为的略有不同。我们不能对奥斯本模型和曼德博模型之间的区别忽略不计，但这种区别仅仅在碰到极端事件的时候才有重要意义。在普通的一天里，几乎不会有任何极端事件发生(根据这两个模型都会得出这个结论)，因此你通常不会注意到这两个模型之间有什么区别。

因为这个原因，就像我们会在接下来的几个章节中看到的一样，当那些对金融市场感兴趣的经济学家试图将库特勒的书中提出的概念进行推广时，当他们想将股票市场价格的随机性付诸实践时(例如用统计学去预测金融衍生品的价格，或者计算一个投资组合的风险程度)，他们需要在一个简化的理论和一个处理起来更加困难的理论中做出选择: 前者在大多数时候能给出令人满意的结果，而后者能将一些特定的极端事件考虑进去。从最简单的模型开始，观察会发生什么，这种做法是很有道理的。如果你做了很好的假设，并且有效地将模型理想化，你通常能够应对一些特别复杂的问题，并且能够找到一个近乎正确的解决方法， 即使有一些细节上的小瑕疵。当然，你必须知道你的假设并非一直是非常正确的(市场并不是完全有效的; 收益服从简单的随机游走，而价格则不然)。而这仅仅只是一个开始。

有些人认为曼德博在早期发表了关于棉花的论文之后，马上就被人遗忘了，这种论断，实在是过于草率了。大多数经济学家在研究基于市场随机性的相关问题时都采用了奥斯本的方法。但是，也一些有探索精神的数学家、统计学家、经济学家中的核心人物将曼德博的理论用更加细化的数据和更为成熟的数学方法予以验证。这些数学方法中的绝大多数都是专门开发出来让人能更好地理解这个问题的: 如果这个世界存在的随机性和曼德博描述的一样狂放，那么它会是什么样子的呢?这些研究证明了曼德博的基本理论， 正态分布和对数分布不足以模拟市场的统计学特征，收益率分布存在肥尾。

据说，这个故事还有一个小小的波澜。曼德博在他1963 年发表的论文中提出了一个详细的结论:他认为市场是服从莱维稳定分布的。除了正态分布以外，莱维稳定分布的波动幅度是无限的，也就是说最标准的传统统计工具不能用来分析这样的分布。这就是库特勒提到的，"如果曼德博是正确的，那么几乎所有我们现在在使用的统计工具都应该被摒弃"的含义。如今，最充分的证据证明了这个关于无穷的波动幅度和不适用的传统统计工具的结论是错误的。这个研究过去了大概50 年之后，学者们终于达成了共识，收益率分布存在肥尾，但不服从莱维稳定分布。如果这个共识是正确的，就像大多数研究这个问题的经济学家和物理学家认为的那样，那么标准的统计工具其实是适用的，虽然最简单的有关正态分布和对数分布的假设并不成立。不得不承认，评价曼德博的结论是一项令人非常头痛的工作，主要是因为他的研究课题和他最相近的替代理论之间的关键差别只有在遇到极端例子的时候才能体现出来，但是获取这些例子的数据非常困难。另外，即使在今天，对如何解释这些数据，仍存在分歧。

曼德博的主张似乎太激进了，以至于很难对此做出评价。直到现在，仍有一些专家坚持认为曼德博并没有得到他应得的评价。我们应该这样合理地评判他: 他的观点能够解决这个世界上存在的绝大多数问题。虽然这么说并不完全正确，但是，有些事情却是可以肯定的: 极端事件出现的频率要远远高于巴施里耶和奥斯本所认为的那样，市场比正态分布所描述的更加狂放。为了全面地理解市场，并且最可靠地模拟市场，我们必须将这些事实考虑进去。曼德博异常执着地找出了巴施里耶和奥斯本模型中的缺陷，并开发出研究问题所必须用到的数学方法。完善每个细节是一个长远的过程，实际上，对数学模型的不断改进是一个永不停歇的动态过程。不可否认的是，曼德博向前迈出了至关重要的一步。

在沉迷于市场的统计学工作10 年之后，曼德博停住了他继续探索的步伐，他用其他的莱维稳定分布代替了正态分布。此时，他的随机理论和混沌理论已经开始在从宇宙学到气象学的广泛领域中显现出应用价值，在这些领域的应用更加符合他从事应用数学和应用物理学研究的初衷。曼德博在整个职业生涯都保持着与IDM 的联系。1974 年，他成为IDM 的合伙人，这样他就可以像一个学术研究者那样自由地确立和发展自己的项目。

随着曼德博的思想逐渐渗透到许多不同的科学领域中，他的研究开始受到了重视。他关于分形的著作从1975 年开始多次再版， 1982 年最终定名为《大自然的分形几何学》( The Fractal Geometry of Nature)。这本书引起了巨大的轰动，曼德博也因此成了半个公众人物。20 世纪90 年代初，曼德博获得了众多荣誉，其中包括1990 年的法国荣誉军团勋章奖和1993 年的沃尔夫奖。1987 年，他开始担任耶鲁大学的兼职数学教授。1999 年，曼德博被聘为终身教授，时年75 岁。此后，他始终在世界各地发表演讲，从未停止过原创性研究，直到2010 年10 月14 日病逝。

20 世纪90 年代早期，曼德博意识到是时候将研究重心重新转向金融学领域了，他的事业也在此时更加飞黄腾达。在过去的30 年中，他的观点已经进一步发展和成熟了起来，这大大受益于这些理论在其他领域的应用。因此，当回过头来研究经济学的时候，他发现自己拥有了更多的数学研究工具。同时，市场也发生了巨大的变化。越来越多的华尔街以及世界各地的从业人员已经有能力理解和运用曼德博的理论。此时，对肥尾分布的认识真正成为金融学主流研究的一部分。我并没有沿着时间轴来讲述这个故事，如果那样我应该从一副21 点扑克牌和一个半瓶子醋的前物理学家开始娓娓道来， 一直到讲到金融学领域能够充分利用这些真知灼见的那一天，先是巴施里耶，接下来是奥斯本，最后才是曼德博。