第38章  无穷值系统

除了二值系统（即二元系统）以及三值系统（即三元系统）之外，还存在着无穷值系统。在无穷值系统中，计数的方法将彻底失效，我们只能采取测量的方式。在两个端点之间，存在着这样的无穷个可能值。为了衡量这些无穷值的状态，我们必须运用工程学中的费力最小原则。例如，称量钻石的时候，我们会采用珠宝商的天平秤，而一火车皮煤炭的称量则必然用到货秤。对于某种现实的应用而言，“无穷值”往往意味着“具有大量不同的值”。我们并不一定对所有的“值”感兴趣一一谁会在乎10.01美元尾数后面的0.00001美元呢！更何况，这种斤斤计较根本毫无现实意义可言。

在前面的章节中，我们已从毫无选择余地的唯一值系统，逐步地介入到提供两种、三种，甚至多种选择的非单一值的系统。我们知道，许多问题只能够用唯一值、二值、三值，或者是大量的离散值的系统来表述，但是，我们也会遇到同样多的情况，它们不属于前面所提到的任意一种系统，我们只能够用无穷值，或者至少是连续值系统来描述它们。

当我们用一根皮尺测量一张桌子的桌面时，你或许会将测量到的数字英寸后的尾数省略掉，例如你可能得出40英寸宽，72英寸长的测量结果。这一情形与我们拨打某个电话号码或是按下电梯的指示器并不相同，此时，你所能够选择的范围只是某些离散的整数值。但是，就像我们所知道的那样，当你测量一张桌子的时候，桌子完全可能有英寸长，也可能是英寸长，如果测量用的皮尺的测量精度足够高，你还有可能得到英寸的测量值。事实上，一张长度超过72英寸，但少于73英寸的桌子，对其长度的测量值的个数是无限的。

温度，我们通常用度数来表示，它显然也不局限于整数的表达形式。也就是说，温度也是一个无穷值的系统，它的测量值仅受温度计的精度以及人的视力能力的限制。大多数情况下，我们并不需要将厨房外的气温精确到35.276华氏度。一般来说，“35华氏度”的说法已完全能够满足人们普通的需求。事实上，在绝大多数的科学调查研究过程中，确定某个物体的电阻值或其势能，测量交通运输的速度或是某个器械部件的运转速度，读取蒸气炉的气压值、光的强度以及声波的波长和频率等，我们都在面对和处理无穷值的系统。“无穷值”的含义实际上很简单，它意味着我们将不受整数值（或有限个离散值）的限制，而可以根据我们所使用的工具的精度以及我们的具体需求来测量和读取我们所需要的数字。

“测量”，与“计数”形成鲜明的对照，这也是无穷值系统的关键所在。如果某人采用过于粗糙的测量工具来进行测量，那么，显然，他实际上并没有完全充分地利用到解决问题的全部力量。你不会愿意用那部放置在铁路调车场里的货秤来称量一颗钻石吧？在称量煤炭或沙石的时候，其重量的确定即便是有几磅的出入，无关紧要，相反，试图把一批3000磅重的货物的具体重量值确定在几盎司之内的做法则叫人无法想象。而在称量一颗钻石的重量时，情况则完全不同，其测量值哪怕出现几毫克拉（1克拉大约等于1/50盎司）的出入，也将具有重大的意义。当然，你也不会希望用这部珠宝商的天平去称量一火车皮的煤炭吧？

在无限值的系统中，测量的质量高低与选择合适的度量单位密切相关。比如，钢卷尺是测量乔治·华盛顿大桥的合适选择，但在测量一颗轴承滚珠的直径时，我们需要的则是一把高精度的千分尺。一味盲目地花费时间和精力去谋求什么根本不必要的精确测量，是个愚蠢的决定，同样，只得出一些根本达不到精度要求的测量值的测量，也没有任何的明智可言。

除非你非常熟悉技术资料以及符号资料的使用方法，并能够弄清楚诸如地图、符号、价值观体系等各种要素之间的关系，否则，你心中必定疑雾缠绕。对于一位工程师来说，如果能把各种选择对应地画到图形上具体的点，那么，他将很容易地识别出满足自己需求的某一个选择。同样，在无穷值系统所形成的光滑曲线上，他也能够确定出具体的某一选择值。这位工程师所测量到的数据及其所画出的图形越精确，他从地图或图形中所归纳和总结出的答案也就越精确。正如人们通常所说的，重要的是拥有一架合适的天平，有了它的帮助，我们就能够测量出我们所需要找到的合适的测量值。

得到合适的值的另一途径（这或许会激怒专业学校里培养出来的某些人）是遵循费力最小这一粗略的原则：我们做一件事情的时候，必须按照要求的详细程度来完成，但是，也不必超出要求的细致程度。我们完全不必去强求任何超出需求精度的结果，这一点非常重要。一份银行的账单务必精确到美分。而一份20世纪70年代全国负债额的估计报告则没有必要给出几百万的“零头小数”。事实上，过于精确的表述反而容易导致误导和误解，因为这样的数字本身很难精确地预测出来。

同时，如果我们试图以1/64英寸的精确度去度量和记录一座体育馆的占地面积的话，那无疑将造成时间的极大浪费，因为通过测量活动，我们所需要了解的，仅仅是体育馆占地多少英尺而已，谁会在乎那“一星半点”的、以英寸表示的尾数呢？但是，我们却必须铭记，我们通过物理手段测量到的数据并非什么“滴水不漏”的数据，也没有必要得到什么“滴水不漏”的数据，因此它们根本没有必要以超出需要的精度来表示，只要测量值仍然保持在我们所设定的误差范围内，我们大可不必去过多地考虑那些被省略掉的小数。由此，我们可以看出，测量的原则与计数的原理是如此不同，原因其实再简单不过，当你说篮子里有6只鸡蛋或10只鸡蛋的时候，你并没有忽略掉什么无穷多的小东西。

在算术计算中，有两种基本方法，我想，你一定不会奇怪，这两种不同的方法便是在计数和测量两套理念的基础上构建起来的吧。计数原理的雏形便是古老的算盘。算盘上，某些特定的珠子，被确定地用于代表某些特定的数字，不多也不少。测量原理的雏形则是计算尺。只要计算尺的刻度以及你个人的视力条件允许，你将能够得到足够高的测量精度，但是，这也并不是说，刻度尺测量得到的测量值便是一个绝对精确的结果。也就是说，当我们用一把刻度尺测量一间房屋的尺寸时，你可以得到你所希望的具有某种精度的测量值，但你却永远不能说，172.43908英寸就是一个绝对精确的测量值。现代计算机综合了上述两种不同的基本计算方法，当它处于计数模式时，我们称之为“数字”状态，而当它处于测量模式时，我们称之为“模拟”状态。

最为奇特的是，这两种计算方法之间的区别并不像人们想象中的那么巨大，或是那么至关重要。数字计算器在精确度方面体现出来的明显优势，将随着涉及小数的长运算的出现，而消失殆尽，因为此时此刻，越来越长的小数串早已溢出了纸张的边界和你的视野范围，而且，位于右手边上的那些微小的小数值也变得越来越微不足道，以至于你完全可以忽略它们的存在。

此外，许多被我们认定为无穷的数值类型，在普通的应用场合中，其实并不真正表现为无穷值。例如，我们可以利用透镜来初步放大某件物体，也可以用显微镜来进一步放大该物体，但是，我们最终会达到某一极限状态，在这一状态，我们所观测的物体（波长）将变得十分粗糙，以至于稍微再多一点点的进一步放大，都会使我们不再能够看清楚该物体。物体的整体感将遭到破坏，并给人以离散的、片断式的印象，就像报纸上刊登的那些粗糙的荧幕照片，或是电视剧屏幕上的细节部分一样。

被我们视为无穷值的大多数数据，实则属于一些多元系统，如果我们加以严格的分析。当我们采用的测量单位非常小，而且小到某一程度的时候，我们便会发现，我们已不可能继续细化所采用的测量单元，不仅因为此时的数据本身已变得不再连续，不再能够整体地加以读取，或者不再能够以某个离散的单元为一个读数单位来读取数据，而且还因为，我们的感觉器官此时早已不能够分辨出这些微小的外界刺激。

当我们已将数据分解到某种最小的单元的时候，我们便达到某种极限的状态。此时，我们将不再能够进一步细化我们的测量值；大自然所赋予我们的沟通手段，已不再能够给予我们更深入的细节了。我们在数羊羔的时候，最小的计数单元是一只羊羔，银行的账单上，最小的单元则是一美分，对于大多数股票而言，目前，其价格的最小单位便是1/8美元，很快，它将开始以十进制来报价（也就是说，其最小单位计量为一美分）；许多科学研究中，我们也将受到物理的限制，它们来源于数据分解的最小极限。

我们花费如此多的笔墨，来分析无穷值系统的原因，主要是为了让大家进一步理解无穷值系统的本质所在。其实，一句话便能概括这一本质，那就是，我们拥有大量的（但也并不一定是无限的）“选择值”。