第十一章：我们是概率盲
某些偏见已经深深嵌进我们的大脑里，阻碍我们处理较复杂、可能需要更精确评估概率的环境。
只能想象一种状态
3月的短暂假期内，你有两个选择，第一个是搭机到巴黎，第二个是前往加勒比海。你觉得去哪里都无所诮，没有什么差别，但也许只要你的老婆随便说几句话，你就会选好目的地。想到可能的度假地点时，你的脑海浮现两幅截然不同的影像。第一幅影像中，你腋下夹着一把伞，站在奥塞美术馆的毕沙罗（Pissaro)画作前面，画中乌云密布，有如巴黎灰暗的冬天天空。 第二幅影像中，你躺在一条大毛巾上，几本你喜爱的作者的书放在旁边，满脸堆笑的侍者送来一杯香蕉沙冰。你知道这两种状况无法并存，因为一次只能去一个地方，但你100%肯定其中之一一定会发生。依你的看法，它们的概率相同，各占50%。
想到要去度假，你的心情跟着偷快起来，每天上下班也不会感到那么无聊。但是根据不确定状况下的理性行为，你所想象的那幅画面，应该是某个度假地点占50%，另一个度假地点占50%，也就是数学上所说两种状况的线性组合（linear combination)。你的头脑可以处理这样的情形吗？脚泡在加勒比海的水里，头徜徉在巴黎的雨中，这有多美好？我们的脑子一次只能处理一种状况——除非你有严重的精神疾病。现在试着想象85%和15%的组合。 能够想象吗？
假设你和同事赌I 000美元，而依你的着法，输赢的概率各半，明天晚上，你的口袋里不是一分钱都没有，就是放着2 000美元，概率各为50%。 纯就数学来说，赌博的公平价值是指各种状态的线性组合，我们在此称之为数学期望值（mathematical expectation)，也就是拿每种回报的概率，乘以用金额表示的可能结果（50%乘以0加上50%乘以2 000美元，等于1 000美 元）。你能想象价值是1 000美元吗（所谓想象，是指在脑子里想出它的形象，而不是用数学式去算）？在任何特定的时刻，我们只能想象一种状态，假使让我们凭想象去决定的话，我们可能用不合理性的方式去睹，因为其中 一种状态会盘踞整幅画面。
存活概率
现在该来谈谈塔利波的秘密了。这是个黑天鹅问题，那时候他35岁， 当时纽约的战前建筑物虽然正立面做得很好看，背面却判若云泥，丝毫不加装饰。医生的门诊室里有个窗户正是俯瞰上东区一条街上的后院，塔利波永远记得把后院和正立面相比是如何乏善可陈，他永远记得那幅景象：透过灰暗窗框看到的肮脏后院，以及他在等候医生时读过十几遍、挂在墙上的医学证书。医生一直没出现，他怀疑事情有点不对劲，所以觉得像是已等候半 生。最后医生终于进来宣布消息，声音凝重地说：“我有一些……我拿到了病理报告……不……不像表面上听到的那么坏……是……是癌症。”他的身体有如遭到电击，从背脊贯穿到膝盖。塔利波想要大叫：“什么？”但发不出声音。最令他害怕的不只是宣布的消息，主要还是医生的表情。他的身体比脑子还先接收到消息。因为医生的眼神里充满太多恐惧，塔利波根据直觉，立即怀疑真相比他被告知的还糟（事实上也是）。
那天晚上，他在雨中走了几个小时，浑然不觉，全身湿淋淋地走进医学图书馆；有个馆员对着塔利波吼叫，但他无法集中精神听懂她在说什么，她无奈地耸耸肩走开了。他坐下来，位子下积起一摊水。稍后，他读到这样的句子：“经精算调整后，5年的存活率为72%。”这句话的意思是说，100个人里面有72个人活了下来。一般来说，需要3~5年的时间，经临床诊断后， 身体没有再次显现病症，才能宣布患者已经治愈（以他的年龄来说，要接近3年的时间）。这时他打从心里燃起希望，相信自己必能活下去。
读者可能要问，未来5年28%的概率死亡和72%的概率存活，两者在数学上有什么不同？显然没有不同，不过我们不谈数学。在塔利波心里，28%的死亡概率是指他死掉的那一幕，包括葬礼上烦琐的细节。72%的存活概率则令他雀跃；他心里计划着，痊愈后的塔利波要到阿尔卑斯山滑雪。在这段治疗的煎熬期间，塔利波从未想到自己是72%活着、28%已经死掉。
偏见影响我们的行为
由于我们刚刚谈到的理由，认知科学和行为科学的研究人员认为概率法则是与直觉相悖的。这些科学家说，我们是概率盲，本章将以很快的速度说明这种概率盲表现出来的一些行为，并且略微涉猎那个领域的若干研究。
概率盲的观念孕育出一个完整的学科，致力于研究这些偏见如何影响我们的行为。图书馆的书架上有很多这样的书，无数的投资基金也应运而生， 其依据的观念是人在市场中的行为并不是理性的。其中有些基金认为人们对新闻总会过度反应，其他一些基金则恰好相反，认为人们对新闻的反应不足 (在我的事业生涯之初，听别人说，市场中的看法越分歧越好）。这些信念导致两类操作策略堀起，一类是反向操作者（contrarians)，他们的思维逻辑是：嘿，由于人们会系统性地过度反应，所以我们来和他们对着干，卖出赢家，买进输家。另一类则是动能型操作者（momentum players)，行为恰好相反，由于市场的调整速度不够快，所以我们来买进赢家，卖出输家。由于随机性的作用，这两种人都能在某些期间有所斩获，但不能据此就论断两种理 论谁对谁错。
连精神病学家和临床心理学家也都成了“专家”，加入这场混战——他们对人的心灵，毕竟懂得比所用不切实际且不科学的财务经济学家多，而且人的行为毕竟最后会影响市场。医师和心理研究人员每年都在波士顿集会， 研讨市场操作策略。所有这些观念看起来可能相当简单，甚至有点单调乏味，直到我们见到连专家也和一般人一样，坠入其中的陷阱，才发现原来并没有那么简单。
相同的基因
我不打算深谈一些业余的进化论，好从中找出人类行为的缘由，此外， 尽管我花了些时间待在图书馆，还是觉得自己在这个主题上属于门外汉。人类基因形成时的环境，和今天的环境显然不同。我并没有告诉太多同事，他们的决策带有从穴居人时代残留下来的习性，但在市场急上直下时，我也难免感到一股肾上腺素分泌，就像看到一头美洲豹潜进我的交易台。一些同事发生亏损时摔坏电话筒，他们的心理构造或许更接近人类的老祖先。
常看希腊和拉丁古典文学的人，也许觉得这些话了无新意，但在我们见到二十几世纪以前的人竟然表现出和我们类似的情绪反应时，仍不免大吃一惊。还记得童年时期参观博物馆时，最叫我惊讶的莫过于古希腊雕像所呈现的气质和我们没有两样（只是他们更为和谐与气派）。我错了，竟然以为2 200年是很长的时间。普鲁斯特经常提到，人们看到荷马叙事诗中的英雄表现出和我们今天类似的情绪时，往往惊异不已。依人类的基因标准，《荷马史诗》中这些3 000年前的英雄，他们的基因组成，很可能和你现在在停车场看到，将杂货搬上车的矮胖中年男子一模一样。事实上，我们的基因可能和8 000年前，居住在叙利亚东南到美索不达米亚西南一带，开始“文明化”的人没有两样。
我们的自然栖息地是指什么？所谓自然栖息地（natural habitat)，我认为是指最能让我们繁衍后代，而且能有最多世代生存其中的环境。人类学者一致的看法是，人类在约13万年前便已是独立的物种，当时大部分的时间是待在非洲的大草原。但要阐述我们的论点，不需要回溯到那么久以前。我们不妨想象大约3 000年前，新月沃地的中城（Middle-Town)这个早期人口聚居地的生活情形；从基因的观点来看，这已是相当现代了。当时由于交通不便，信息的流通受到相当的限制；人们没办法很快旅行到另一地，信息只能零零星星从遥远的地方传来。旅行是很麻烦的事，且必须冒着各式各样的危险；你的活动范围仅局限在出生地附近的一小块地方，除非当地发生饥荒或者遭野蛮部落人侵。终你一生，认识的人相当少。如果有人犯罪，在少数几个嫌疑犯中搜集和判断证据相当容易。要是你没犯罪却被判有罪，你可以用简单的证据加以反驳：“那时我不在那里，因为我在巴力庙（Baal)祈祷，黄昏的时候大祭司看到过我。”然后加上一句话，说沙哈之子欧贝德希梅斯比较有可能犯罪，因为那个人之死对他最有利。总之，你的生活很单纯，所以概率空间相当狭窄。
正如我说过的，真正的问题在于这种自然栖息地没有包含很多的信息。直到最近，我们才需要用很有效率的方法去计算偶然性。这可以说明为什么我们必须等到讨论赌博的文献出现后，概率数学才开始成长。一般人认为，第一个和第二个千禧年的宗教信仰，阻碍了人们去发展暗示决定论并不存在的工具，而且延迟了概率研究的时间。这种看法极不可信；我们没有去计算偶然性，只是因为我们不敢去算？当然应该是因为我们不需要去算。我们的许多问题出在我们脱离原始栖息地的速度，远快于基因进化的速度。甚至更糟的是：我们的基因根本没有改变。
犯罪的概率
辛普森（O. J. Simpson)案的审判是个好例子，可用来说明现代社会虽受概率主宰（因为信息爆炸），但在做重要决策的时候，却一点都不尊重它的基本法则。我们有能力把宇宙飞船送到火星，却没办法根据基本的概率法则来审判罪犯。犯罪证据显然是一种概率概念。我记得曾在鲍德斯书店 (Borders Books)的连锁门市买到一本谈概率的书，那个地方距举行“世纪 大审判”的洛杉矶法院不远。我买的书谈的是这个领域里十分复杂的计量知识，距那家书店只有几英里远的律师和陪审员，怎么会错过这种知识上的大跃进？
我们根据概率定律推论，所能找到最有可能犯罪的人（这项推论的信赖标准已超过法律上判人有罪所要求的“不容有一丝怀疑”），却因我们误解概率的基本概念而无罪开释。但你也可能因为人们误解概率，被控犯下不曾犯过的罪行——我们的法院还无法正确计算两个事件的联合概率（joint probability,指两个事件同时发生的概率)。那时候我在交易室里，电视机开着，有位律师辩称，洛杉矶至少有4个人会带有与辛普森相同的DNA特征， 这种说法正是忽视了联合事件（下一段将说明原因）。我一听，厌恶异常，于是关上电视，却引来其他交易员的不满。
在那之前，我还以为由于古罗马共和时期制订的高标准，使得法律诉讼已不容许诡辩。更槽的是，有位毕业于哈佛大学的律师发表似是而非的论调，说虐待妻子的男人，只有10%会杀害地们。这是不以谋杀为条 件（前提）的概率。正确的方法应该是看妻子遭丈夫谋杀的案子中，以前也曾遭丈夫殴打的比率有多高（髙达50%)。因为我们这里讨论的是条件概率(conditional probabilities)，也就是以辛普森的妻子被杀的信息为条件，辛普森犯下谋杀罪行的概率，而不是讨论辛普森杀妻的无条件概率(unconditional probability)。连处理和教导概率性证据概念的哈佛大学教授都会做这种错误的陈述，我们如何能够期待没受过训练的人了解随机性？
关于联合概率，陪审员、律师和我们都同样容易犯错，这一点尤其叫人注意。他们不了解证据的相乘效果。我彼诊断患有呼吸道癌，以及同一年遭一辆扮红色凯迪拉克轿车撞死的概率，假设各为10万分之一，则两者同时成立的概率为100亿分之一，也就是把两个显然独立的事件概率相乘。从血型的观点称辛普森有50万分之一的概率不是凶手（律师利用这种诡辩说，洛杉矶有4位这种血型的人），再加上他是被窖者的丈夫，以及其他的证据， 那么由于相乘效果，对他不利的概率会升高很多很多。
“思虑缜密”的人竟犯下最严重的错误。当我说联合事件的概率低于任一事件的概率时，不少人大吃一惊。行为经济学家发测验问卷给比较理性且受过高等教育的人（研究生），要他们计算念文科的年轻女性成为银行职员或具有女权意识的银行职员的概率时，平均来说，他们算出她成为具女权意识的银行职员的概率，要髙于她当银行职员的概率。我很高兴自己能当交易员，去利用别人的偏差获利，但生活在这样的社会中，却感到害怕。
荒谬的世界
卡夫卡（Franz Kafka)先知型的小说《审判》(The Triaf)叙述约瑟夫·K因为莫名其妙而且从未解释的原因被捕后的悲惨生活。这个故事写于我们所知的“科学化”极权制度建立之前。它描写令人毛骨悚然的未来世界，人类被荒谬且自我壮大的官僚机构包围，由于官僚机构的内部逻辑而自动衍生一些法规。一种荒谬的文学风格因此诞生；这样的世界可能太不适合我们居住。一些律师令我害怕至极，听到辛普森受审期间的言辞辩论及其效应，我非常害怕，对于可能的结果感到恐惧。我可能因为概率上毫无意义的原因被捕，而且必须在不懂随机性的陪审员面前，和讲得天花乱坠的律师奋战。
有人说，在原始社会中，只要做简单判断就够了，当可能的结果属于单维空间时，没有数学——或者交易时不需依赖计量方法，我们的社会也很容易生存。单维意指我们只看单一变量，而不是不同事件的集合。一种证券的价格是单维的，几种证券的价格合起来，则是多维的，需要使用数学模型来分析；我们没办法用肉眼轻易看到可能结果的组合，甚至没办法以图形来表示，因为我们的实体世界最多只能画出三维空间的图形，后面我们会谈到为什么我们可能拥有坏模型（事实上的确有），或者犯下宽恕无知的错误；在不懂数学的律师卡律布狄斯（Charybdis)，以及缺乏判断力，因为没办法选到正确模型而误用数学的数学家斯库拉（Scylla)之间摆荡。换句话说，我们将必须在听信律师和听信经济学家两种错误之间摇摆不定。前者拒绝接受科学，胡言乱语，讲得天花乱坠；后者则应用有瑕疵的理论，而且太过认真看待自己的科学。科学的美妙之处，在于它容许这两种错误。幸好有中席之道可走，只是去走的人少之又少。
处理不确定性
从期刊列为参考文献、支持人数，以及对所属专业的影响来说，谁是上个世纪最具影响力的经济学家？不是凯恩斯，不是马歇尔（Alfred Marshall)，不是萨缪尔森，也当然不是弗里德曼(Milton Friedman),而是心理学家卡尼曼和特沃斯基，他们的专长是发掘人类在哪些地方欠缺理性思考和最优化的经济行为。
关于我们如何感觉和处理不确定性，两人教了我们许多东西。他们在20 世纪70年代初针对一群学生和教授进行研究，显示我们并没有正确了解突发事件。此外，他们也指出，在我们了解概率的罕见情况下，也似乎没在本身的行为中把它纳入考虑。自卡尼曼和特沃斯基的研究发表以来，称做行为财务学和经济学的一个完整新学科已经开花结果。它与商学院教的所谓新古典经济学公开冲突，这个正统底下的规范性名称有髙效率市场、理性预期等观念。我们可以就此打住，来讨论规范科学（normalive science)和实证科学 (positive science)的不同。规范科学（显然是个自我矛盾的概念）提供处方性（prescriptive)的教诲，它研究事情应该是怎么样。举例来说，有些经济学家，譬如奉高效率市场为信条者，相信人是理性的，而且会采取理性的行动，因为这么做对他们最好（即数学上所谓的“最优化”）。实证科学与之相反，是以实际观察人的行为为基础。
必要的偏见
心理学和经济学这些软科学以前偶尔欺骗过我们。怎么欺骗？经济学制造了一些可笑的观念，一旦有人稍微改变一下假设，这些观念便灰飞烟灭。 经济学家彼此经常为了难以理解的论点（甚至连经济学家本身也看不懂）而争吵不休，我们似乎很难在他们之间选择立场。相反，生物学和医学在科学的确定性上位阶较高，它们和真正的科学一样，能够解释一些事情，同时可加以否证。它们都是实证科学，提出的理论都是比较好的理论，也就是说，比较容易去检测。神经病学家正开始利用所谓的大脑环境映像(environment mapping)去证实这些结果，这是好消息。他们使用的方法，是找来脑部只有一块地方受损的病患（如长肿瘤或者出现局部性的伤害），利用消去法排除掉不可能的答案，最后推导出这一部分的机能，如此可以把脑部各区域所执行的机能逐一确定出来。卡尼曼和特沃斯基的研究发现了一块熟知区域(terra firma),使得我们通过行为遗传学和医学取得的知识往前跃进。人类大脑的一些生理机能，引导我们用某种既定的方式去认知事物和表现出某些行为。不管喜不喜欢，我们都是自身生物构造的俘虏。
进化心理学的研究人员对这些偏见提出了令人信服的理由。在人类的进化过程中，因为我们不必懂概率，所以也就没有足够的诱因来发展出了解概率的能力。但是更深一层的原因是，人类不是被设计来理解事物的，我们只是被设计来求生和繁衍后代，但为了求生存，我们必须夸大某些事情的概率，例如可能影响我们存活的事件发生的概率。举例来说，大脑对生命危险特别在意的人（也就是偏执狂），比较能够生存下来，因此他们的基因遗传下去。但是这种偏执狂也不能过头，否则必须付出太高代价，反而成为缺点。某些偏见已经深深嵌进我们的大脑里，阻碍我们处理较复杂、可能需要更精确评估概率的环境。
这些偏见的说法后来在各学科也都获得佐证。由于知觉上的扭曲，人没办法那么理性；我们所说的理性，是指信念协调一致，也就是没有逻辑上的矛盾，而且行为举止符合这些信念。
偏差的例子
我在行为研究的文献中至少找到偏差十分严重的40个例子。以下是个很有名的测验，也是叫医学界尴尬不已的实例。接下来的问题是给医生做的，引用自本内特（Deborah Bennett)写得非常好的一本书，叫做《你赌对了吗？》（Randomness)。
检验某种疾病时有5%的概率产生误报（false positives)。全部人口有 1%。的概率罹患这种疾病。不管是否怀疑罹患这种疾病，随机检测一群人之后，发现有个病患的检测结果呈现阳性，那么这位病患染上这种疾病的概率有多少？
大部分医生只考虑检测的准确率为95%，而回答95%。正确的答案是病患生病且检测发现有病的条件概率，其结果接近2%。结果有不到1/5的专业人士答对。
我来简化这个答案。假设没有漏报（false negatives)存在。1000个受 检的病患中，预料将有一位罹患这种疾病。999位健康的病患中，检测的结果将有约50位染病，因为准确率是95%。正确的答案应该是，随机选取的某人，检测呈现阳性且确实染病的概率如下：
答案为1/51。
不妨想想，这一辈子你曾有多少次被告知染上某种疾病，需要接受某种药物治疗且忍受可怕的副作用，而实际上你真的罹患那种疾病的概率只有2% !
我们是期权文盲
身为期权交易员，我注意到人们往往低估期权的价值，因为他们经常无法以正确的心态，去评估提供不确定性报偿的工具，即使他们很懂数学也一 样。连主管机关也向人们表示，期权是一种衰竭性或损耗性资产，使得这种无知雪上加霜。价外期权被视为衰竭性资产，因为会在两个日期之间损失溢价（premium)。
接下来用一个简单的方式解释期权到底是什么。虽然简单，但已足以澄清人们对期权的误解。假设某只股票今天的交易价格是100美元，某人给我权利（但非义务）于一个月后以110美元买进。这称做买入期权（call option)。一个月后，股价涨到110美元以上，我要求期权卖方以110美元的价格把股票卖给我，称做履约（exercise)。这时履约才有意义。要是履约时的股价为120美元，那么我的选择权有10美元的价值，因为我可以按110 美元的价格向期权卖方买进股票，然后按120美元的价格在市场上卖出，一 进一出的差价10美元落袋。不过这样的概率不是很高购买买入期权时， 如果股票的市价低于履约价格，立即履约则没有好处，我们把这种期权称为 价外（ out-of-the-money)。
假设我用1美元的价格买进这个买入期权。那么距今一个月后这个期权的价值预期将有多少？大部分人认为是零。这个答案不对。这个期权到期时有很髙的概率（比方说是90%)价值变成零，但可能有10%的概率平均价值为10美元。因此卖方卖我期权，向我收取的1美元可不是免费奉送给他的。 要是卖方不卖我期权，而是自己以100美元的价格买进股票，等上1个月， 便可以用120美元的价格卖出，获得20美元的利润。因此现在赚1美元实在不能算什么。同样，我买下的期权也不是损耗性资产，可是连专业人士都可能被愚弄。为什么？因为他们把期望值和最可能出现的情境混为一谈，在本例中，这个期权的期望值为1美元，而最可能的情境是价值为零。他们在 心理上高估了最可能情境的重要性，亦即认为市场将纹丝不动。这个期权的价值其实是各种可能状况的加权平均。
期权卖方还提供了另一种满足，也就是稳定的报酬和获得奖赏的安稳感觉。这正是心理学家所说的畅流（flow)。早上去上班的时候，抱着获得一点小钱的期待心理，那种心情很愉快。但是反过来说，即使某种操作策略长期而言可望获利，但必须经常赔点小钱，这种事只有坚强的人才能忍受。我发现很少期权交易员能够抱牢我所说的“长期波动性”头寸，这种头寸很有可能在到期时损失一点小钱，但由于偶尔出现的强劲上冲力道，长期可望获利。很少人愿意在大部分期权到期时赔1美元，但毎过一段时间就赚个10 美元，即使这种游戏很公平，赚10美元的概率可能髙干10%，也不肯玩。
我把期权交易员分为两类：溢价卖方和溢价买方。溢价卖方（也称做期权卖方）卖出期权，大致可以安安稳稳地赚钱，如第一章和第五章所说的约翰。溢价买方的行动则恰好相反。这一行的人常说，期权卖方吃时像小鸡， 拉时像大象。唉，我在事业生涯上碰的大部分期权交易员都是溢价卖方，而他们炸毁时，赔掉的通常是别人的钱。
看起来懂得这些简单数学的专业人士，怎会落到这种下场？我们对数学的了解可能还停留在相当肤浅的层次。医学界已经开始相信我们的行为，并非都由脑子管理理性的那一部分引导。我们是动用惜绪去思考，没办法逃避它。其他方面很理性的人，却会抽烟或者跟别人打架，而这些行为对他们并没有立即的好处。同理，人们明知道卖期权不好，却还是要卖。贴有更槽的。有一种人，通常是学者，不去要求行为配合大脑，却支使大脑去配合行为。这些人回过头去拿统计数字来为自己的行为找合理化的借口。在我这一 行，他们以统计上的论调证明卖期权之举正确无误，但这不过是自欺欺人罢了。
概率与新闻媒体
新闻记者受到的训练是表达自己的看法，而不是深入探讨事件。记者的进化过程选择的是善于沟通的人，而不是见识卓越的人。我的医生朋友表示，跑医药新闻的许多记者不懂医学和生物学，连最基本的东西也常弄错。我没办法证实他们的说法是否正确，因为我自己只是业余的医学研究报告阅读者，但我却注意到他们经常误解医学研究报告中提及的概率。
最常见的一种是证据的解读。他们常把缺乏证据（absence of evidence)与证明没有这回事（evidence of absence)混为一谈。怎么说？假使我测试某种化学疗法，比方说是拿氟尿嘧啶（Fluorouracii)去治疗上呼吸道癌，发现它的效果比安慰剂好，但两者差别不太大；配合其他的物理疗法，它能把存活率从21%提高到24%。由于我的样本不大，因此存活率升高了3%，我不确定是是否由于药物的关系，因为这有可能只是?%2